Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen:
Hier erhältst du eine Zusammenfassung zum Thema: Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen
Mit der pq-Formel können wir quadratische Gleichungen nach dem Muster x² + px + q = 0 lösen.
Die Formel kann nur angewendet werden, wenn der quadratische Faktor x² = +1 ist.
Formel:
x1 und x2 werden hier mit folgender Formel berechnet:
Fallunterscheidungen:
Die Diskriminante D = (p/2)² – q bestimmt, um welchen Lösungsfall es sich handelt.
1. Fall: die Gleichung hat 2 Lösungen, wenn D > 0
D > 0 ⇔ (p/2)² – q > 0
Wenn die Diskriminante größer als Null als ist (positives Ergebnis), dann hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen: L = {x1, x2}.
2. Fall: die Gleichung hat 1 Lösung, wenn D = 0
D = 0 ⇔ (p/2)² – q = 0
Wenn die Diskriminante gleich Null ist, dann hat die quadratische Gleichung eine Lösung: L = {x1}.
3. Fall: die Gleichung hat 0 Lösungen, wenn D < 0
D < 0 ⇔ (p/2)² – q < 0
Wenn die Diskriminante kleiner als Null als ist (negatives Ergebnis), dann hat die quadratische Gleichung keine Lösung: L = { }.
Beispiele
gegeben: x² + x – 20 = 0 Grundmenge = ℝ
gesucht: x1, x2
1. Schritt: Bestimmung von p und q
p = +1 q = – 20
2. Schritt: Anwendung der pq-Formel
3. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
x1 = – 0,5 – 4,5 = – 5
x2 = – 0,5 + 4,5 = + 4
L = { -5; +4}
4. Schritt: Probe
Wir setzen für x1 = – 5 und für x2 = + 4 ein!
(x – x1) • (x – x2) = 0
(x – (- 5)) • (x – (+ 4)) = 0
(x + 5) • (x – 4) = 0
x² + 5x – 4x – 20 = 0
x² + x – 20 = 0
Weitere Beispiele:
Aufgabe 1: Lösung
gegeben: x² + 4x – 21 = 0 Grundmenge = ℝ
gesucht: x1, x2
Aufgabe 2: Lösung
gegeben: x² + 4x + 4 = 0 Grundmenge = ℝ
Aufgabe 3: Lösung
gegeben: x² + 2x + 8 = 0 Grundmenge = ℝ
pq-Formel Video
Hier findest du ein Video zum Thema: pq-Formel Anwendung und Beispiel
Weitere Informationen erhältst du hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#p-q-Formel