Gleichschenkliges Dreieck
Hier erhältst du eine Lerneinheit zum Thema: gleichschenkligen Dreieck
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten und Winkeln.
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Bezeichnungen:
Eckpunkte: A, B und C
Seitenlängen: Basis c und Schenkel a, b
Flächenhöhen: ha, hb und hc
Winkel: α (alpha), ß (beta) und γ (gamma)
r = Inkreisradius
R = Umkreisradius
Formeln:
Flächeninhalt und Umfang:
Flächeninhalt: A = a • ha : 2
Flächeninhalt: A = c • hc : 2
Umfang: U = 2 • a + c
Pythagoras:
a² = hc² + (c/2)²
hc² = a² – (c/2)²
(c/2)² = a² – hc²
Eigenschaften:
Fläche:
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten.
Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
Die Schenkel a und b sind gleich lang.
Das Geodreieck ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (α, β = 45° und γ = 90°).
Winkel:
Alle drei Innenwinkel ergeben zusammen 180°.
Es ist ein Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln.
Die beiden Basiswinkel alpha (α) und beta (β) sind gleich groß.
Die Höhe hc halbiert die Basis c und den Winkel gamma (γ).
Symmetrieachse, In- und Umkreis
Das gleichschenklige Dreieck besitzt eine Symmetrieachse.
Die Höhe hc ist die Symmetrieachse des Dreiecks.
Die merkwürdigen Punkte (H, I, U, S) liegen alle auf der Symmetrieachse (Höhe hc).
Das gleichschenklige Dreieck hat einen Inkreis und einen Umkreis.
Flächeninhalt und Umfang:
Der Flächeninhalt wird berechnet, indem wir das Produkt der jeweiligen Seitenhöhe mit ihrer Seite halbieren.
Der Umfang wird berechnet, indem wir alle drei Seitenlängen addieren.
Formeln Umkehraufgaben:
Flächeninhaltsformel: A = a • ha : 2
⇒ a = 2 • A : ha
⇒ ha = 2 • A : a
Flächeninhaltsformel: A = c • hc : 2
⇒ c = 2 • A : hc
⇒ hc = 2 • A : c
Umfang: U = 2 • a + c
⇒ c = U – 2 • a
⇒ a = (U – c) : 2
Beispiel:
Gleichschenkliges Dreieck:
c = 14 cm, hc = 9 cm, a = 11,4 cm, ha = 11,1 cm
a) Berechne den Flächeninhalt auf zwei Arten b) Berechne den Umfang
a) Flächeninhalt mit hc:
A = c • hc : 2
A = 14 • 9 : 2
A = 63 cm²
A: Der Flächeninhalt beträgt 63 cm².
a) Flächeninhalt mit ha:
A = c • hc : 2
A = 11,4 • 11,1 : 2
A = 63 cm² (gerundet)
A: Der Flächeninhalt beträgt 63 cm².
b) Umfang
U = 2 • a + c
U = 2 • 11,4 + 14
U = 36,8 cm
A: Der Umfang beträgt 36,8 cm.