Aufgabe: Wurzelgleichung lösen Übung 5
Löse folgende Wurzelgleichung: √(x + 4) + √(x + 11) = √(4x + 29)
Grundmenge: ℝ
Lösung: Wurzelgleichung lösen Übung 5
Definitionsmenge:
Wir bilden die Definitionsmenge!
√(x + 4) + √(x + 11) = √(4x + 29)
1. Wurzel:
x + 4 ≥ 0 / – 4
x ≥ – 4
2. Wurzel:
x + 11 ≥ 0 / – 11
x ≥ – 11
3. Wurzel:
4x + 29 ≥ 0 / – 29
4x ≥ – 29 / : 4
x ≥ – 29/4
d.f. Definitionsmenge: D = {x ∈ ℝ | x ≥ – 4}
Wir berechnen x:
1. Schritt: Wir quadrieren beide Seiten
√(x + 4) + √(x + 11) = √(4x + 29) / ²
x + 4 + 2*√[(x + 4) * (x + 11)] + x + 11 = 4x + 29
2x + 15 + 2*√(x + 4) * (x + 11) = 4x + 29
2. Schritt: Wir isolieren die Wurzel
2x + 15 + 2*√[(x + 4) * (x + 11)] = 4x + 29 / – 2x – 15
2*√[(x + 4) * (x + 11)] = 2x + 14 / : 2
√[(x + 4) * (x + 11)] = x + 7
3. Schritt: Wir quadrieren beide Seiten
√[(x + 4) * (x + 11)] = x + 7 / ²
(x + 4) * (x + 11) = x ² + 14x + 49
x² + 4x + 11x + 44 = x² + 14x + 49
x² + 15x + 44 = x² + 14x + 49 / – x²
15x + 44 = 14x + 49
4. Schritt: Wir berechnen x
15x + 44 = 14x + 49 / – 14x
x + 44 = 49 / – 44
x = 5
ist laut Definitionsmenge D = {x ∈ ℝ | x ≥ – 4} eine mögliche Lösung!
Probe:
Wir bilden die Probe mit + 5:
√(5 + 4) + √(5 + 11) = √(4*5 + 29)
√9 + √16 = √49
3 + 4 = 7
Beide Seiten der Gleichung ergeben + 7 d.f. wahre Aussage!
d.f. Lösungsmenge: L = {5}