Aufgabe: Wurzelgleichung lösen Übung 3
Löse folgende Wurzelgleichung: √(x + 21) + 2*√(x + 12) = √(x + 5)
Grundmenge: ℝ
Lösung: Wurzelgleichung lösen Übung 3
Definitionsmenge:
Wir bilden den Definitionsmenge:
√(x + 21) + 2*√(x + 12) = √(x + 5)
1. Wurzel:
x + 21 ≥ 0 / – 21
x ≥ – 21
2. Wurzel:
x + 12 ≥ 0 / – 12
x ≥ – 12
3. Wurzel:
x + 5 ≥ 0 / – 5
x ≥ – 5
d.f. Definitionsmenge: D = {x ∈ ℝ | x ≥ – 5}
Wir berechnen x:
1. Schritt: Wir quadrieren beide Seiten
√(x + 21) + 2*√(x + 12) = √(x + 5) / ²
x + 21 + 4*√[(x + 21) * (x + 12)] + 4x + 48 = x + 5
5x + 69 + 4*√[(x + 21) * (x + 12)] = x + 5
2. Schritt: Wir isolieren die Wurzel
5x + 69 + 4*√[(x + 21) * (x + 12)] = x + 5 / – 5x – 69
4 * √[(x + 21) * (x + 12] = – 4x – 64 / : 4
√[(x + 21) * (x + 12)] = – x – 16
3. Schritt: Wir quadrieren beide Seiten
√[(x + 21) * (x + 12)] = – x – 16 / ²
x² + 21x + 12x + 252 = x² + 32x + 256
x² + 33x + 252 = x² + 32x + 256
4. Schritt: Wir berechnen x
x² + 33x + 252 = x² + 32x + 256 / – x²
33x + 252 = 32x + 256 / – 32x – 252
x = 4
ist laut Definitionsmenge D = {x ∈ ℝ | x ≥ – 5} eine mögliche Lösung!
Probe:
Wir bilden die Probe mit + 4:
√(4 + 21)+ 2*√(4 + 12) = √(4 + 5)
√(25) + 2*√(16) = √(9)
5 + 8 = 3
Beide Seiten der Gleichung ergeben unterschiedliche Lösungen:
+ 13 (linke Seite) und + 3 (rechte Seite) d.f. falsche Aussage!
Lösungsmenge: L = { }