Definition: Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Beim Ziehen ungeordneter Stichproben ohne Zurücklegen muss keine Reihenfolge eingehalten werden und die jeweils gezogene Stichprobe wird nicht wieder zurück gelegt.
Formel:
Aus n verschiedenen Elementen einer Menge erhält man durch k-faches Ziehen ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen:
Anmerkung: Ein Produkt, bei dem jeder Folgefaktor um 1 erniedrigt wird, nennt man Fakultät.
(n – k) * (n – k – 1) * (n – k – 2) … weil nicht zurückgelegt wird, vermindert sich die Grundmenge immer um 1).
Beispiel ohne Kombinatorik:
In einer Urne befinden sich 15 Kugeln. 5 Kugeln sind rot, 5 Kugeln sind blau und 5 Kugeln sind gelb.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das nach zwei Mal ziehen ohne Zurücklegen mindestens 1 rote Kugel dabei ist?
Rechenanweisung:
Es müssen die Wahrscheinlichkeiten für rot|rot, rot|nicht rot und nicht rot|rot ermittelt werden und dann zur Gesamtwahrscheinlichkeit addiert werden.
P(rot|rot) = 5/15 * 4/14 = 2/21
P(rot|nicht rot) = 5/15 * 10/14 = 5/21
P(nicht rot|rot) = 10/15 * 5/14 = 5/21
P (mindestens einmal rot) = 2/21 + 5/21 + 5/21 = 12/21
P (mindestens einmal rot) = 0,5714…. / * 100
P (mindestens einmal rot) = 57,14%
A: Die Wahrscheinlichkeit, das nach zwei Mal ziehen mindestens eine rote Kugel dabei ist, beträgt 57,14%.
Beispiel mit Kombinatorik:
Bei einer Lottoziehung werden aus 45 Zahlen 6 gezogen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für einen Lottosechser.
Berechne die Fakultäten:
45! = 45 * 44 * 43 * 42 * 41 * 40 * 39 * 38 * 37 … * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1
39! = 39 * 38 * 37 …. * 1
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1