Definition: Permutation mit Wiederholung
Eine Permutation mit Wiederholung ist eine Anordnung von n Objekten in einer bestimmten Reihenfolge, in der Objekte mehrfach auftreten können.
Die Berechnung von Permutationen mit Wiederholung erfolgt über Multinomialkoeffizienten.
Formel:
Permutationen mit Wiederholung berechnen wir mit folgender Formel (Multinomialkoeffizienten):
(n, k ∈ ℕ*)
Erklärung:
n = Anzahl von unterscheidbaren Objekten
k1, k2, .. = Anzahl von jeweils identischen Objekten
! = Fakultät
Beispiel 1:
In einer Urne befinden sich fünf rote und zwei grüne Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
Fakultäten: rote Kugeln = 5! und grüne Kugeln = 2!
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 3
5! * 2! 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 2 * 1
d.f. 7 * 3 = 21 Möglichkeiten
Anmerkung: 6 oben gekürzt mit 2 unten ergibt 3
A: Es gibt 21 Möglichkeiten die Kugeln anzuordnen.
Beispiel 2:
Wie viele Möglichkeiten gibt es die Buchstaben des Wortes “SESSEL” anzuordnen?
Fakultäten: 3 x S, 2 x E, 1 x L
Berechnung:
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
3! * 2! * 1! (3 * 2) * (2 * 1) * 1
d.f. 5 * 4 * 3 = 60 Möglichkeiten
A: Es gibt 60 Möglichkeiten die Buchstaben des Wortes “Sessel” anzuordnen.