Definition: Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist eine diskrete, zweiparametrige Verteilung.
Mit ihr wird die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses bei mehrfachen Zufallsexperimenten bezeichnet, deren Ergebnisse nicht vorhersehbar sind: z.B. das Werfen einer Münze
Weiters sind nur zwei Ergebnisse möglich, deren Summe stets 1 beträgt.
Für diese zwei Möglichkeiten gilt:
→ p = Wahrscheinlichkeit eines Treffers (Erfolg)
→ q = 1 – p = ist die Gegenwahrscheinlichkeit eines Treffers (Misserfolg)
Eigenschaften einer Binomialverteilung:
1. Jeder Versuch darf nur zwei Ergebnisse haben: z.B. “Treffer” oder “kein Treffer”
2. Die Wahrscheinlichkeit p muss auch bei mehrfacher Ausführung konstant bleiben.
3. Es muss eine festgelegte Anzahl von Versuchen geben.
4. Die Versuche müssen unabhängig (Bernoulliexperiment) sein.
Formel für die Binomialverteilung:
wobei (n, k ∈ N*)
n über k = gibt die Anzahl der Anordnungen bei einem Versuch an
n = Anzahl der Versuche
k = Anzahl der erfolgreichen Versuche
n – k = Anzahl der nicht erfolgreichen Versuche
p = Wahrscheinlichkeit für einen erfolgreichen Versuch
q = Wahrscheinlichkeit für einen nicht erfolgreichen Versuch
Beispiel:
Ein Würfel wird zehn Mal geworfen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den zehn Würfen genau vier Mal die Zahl 6 geworfen wird?
Anzahl der Würfe: n = 10,
Vier mal eine Sechs zu werfen: k = 4,
Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu werfen: p = 1/6
Gegenwahrscheinlichkeit eine Sechs zu werfen 1 – p = q = 5/6
Berechnung des Binomialkoeffizienten 10 über 4:
Der Binomialkoeffizient wird mit Hilfe von Fakultäten berechnet.
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
4! = 4 * 3 * 2 * 1
P (4) = 210 * (1/6)4 * (5/6)6
P (4) = 0,05426… / * 100
P (4) = 5,43%
A: Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen 4 Mal eine “Sechs” zu würfeln, beträgt 5,43%.
Videos:
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Binomialverteilung Übungsbeispiel Video
PDF-Blätter zum Ausdrucken:
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