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Der Würfel | Formeln, Eigenschaften und Beispiele

Der Würfel | Formeln, Eigenschaften und Beispiele


Der Würfel | Formeln, Eigenschaften und Beispiele

Hier findest du einen Überblick Geometrie zu: Der Würfel | Formeln, Eigenschaften & Beispiele

Der Würfel ist ein regelmäßiger Polyeder mit ganz spezifischen Eigenschaften.

Lernmaterialien: 10 Fragen | Aufgaben 1 | Aufgaben 2 | Übungen | Übungsblätter  

Formeln allgemein:

Formeln allgemein

Oberfläche allgemein: O = 2 • GF + M 


Volumen allgemein: V = Gf • h


Mantel allgemein: M = UG • h

Formeln speziell:

Formeln speziell

Oberfläche: O = a • a • 6      

abgekürzt: O = a² • 6


Volumen: V = a • a • a         

abgekürzt: V = a³


Gesamtkantenlänge: GK = 12 • a


Radius Inkugel: RI = a : 2


Radius Umkugel: RU = a • √3 : 2

Formeln Pythagoras: 

Formeln Pythagoras

Flächendiagonalen: dF = √ (a² + a²) 

Formel: dF = a • √2


Raumdiagonale: dR = √ (a² + a² + a²)  

Formel: dR = a • √3

Eigenschaften: 

Allgemeine Eigenschaften

Der Würfel ist ein dreidimensionaler Polyeder (Vielflächner).

Er wird auch als Kubus oder regelmäßiger Hexaeder bezeichnet.

Ein Würfel hat 12 Kanten, von denen alle gleich lang und jeweils 4 parallel sind.

Ein Würfel hat 8 Ecken, die gegen den Uhrzeigersinn in Großbuchstaben beschriftet werden.

Flächen/Diagonalen

Ein Würfel besteht aus 6 Begrenzungsflächen (Quadrate), die alle gleich groß (kongruent) sind.

In einer Ecke eines Würfels treffen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammen.

Das Netz eines Würfels besteht aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel.

Der Würfel hat 12 Flächendiagonalen, die alle gleich lang sind.

Der Würfel hat 4 Raumdiagonalen, die alle gleich lang sind.

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie ist der Würfel ein regulärer Polyeder.

Der Würfel ist hochsymmetrisch, weil alle Ecken, Kanten und Seiten untereinander gleichwertig sind.

Der Würfel ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt.

Er besitzt 13 Drehachsen und 9 Spiegelebenen. 

Formeln Umkehraufgaben:

Umkehraufgaben

Oberfläche: O = a² • 6

⇒ a = √(O : 6)

 

Volumen: V = a³

⇒ a = ³√V


Gesamtkantenlänge: GK = 12 • a

⇒ a  = GK : 12


Flächendiagonale: dF = a • √2

⇒ a = dF : √2


Raumdiagonale: dR = a • √3

⇒ a = dR : √3


Radius Inkugel: RI = a : 2

⇒ a = 2 • RI

 

Radius Umkugel: RU = a • √3 : 2

⇒ a = 2 • RU : √3

Beispiel:

Beispiel Aufgabe

Quadrat Beispiel

Würfel mit a = 7,4 cm

a) Oberfläche  (cm²)  = ? 

b) Volumen  (cm³) = ? 

Beispiel Lösung

a) Rechnung Oberfläche:

O = a • a • 6  

O = 7,4 • 7,4 • 6

O = 328,56 cm²

A: Der Würfel hat eine Oberfläche von 328,56 cm².


b) Rechnung Volumen:

V = a • a • a

V = 7,4 • 7,4 • 7,4

V = 405,22 cm³.

Antwortsatz: Der Würfel hat ein Volumen von 405,22 cm³.