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Rechteckige Pyramide Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1: Rechteckige Pyramide Oberfläche

gegeben: rechteckige Pyramide mit a = 3,4 dm, b = 2,8 dm und h = 4,5 dm

gesucht: a) Grundfläche  b) Höhe ha   c) Höhe hb   d) Mantel   e) Oberfläche

 

Lösung:

a) Berechnung der Grundfläche:

Gf = a * b 

G= 3,4 * 2,8

Gf = 9,52 dm²

A: Die Grundfläche beträgt 9,52 dm²

 

b) Berechnung der Höhe ha

h= √ [h² + (b/2)²]

ha = √ (4,5² + 1,4²)

ha = 4,7 dm

 

c) Berechnung der Höhe hb

h= √ [h² + (a/2)²]

h= √ (4,5² + 1,7²)

hb = 4,8 dm 

 

d) Berechnung des Mantels

M = a * ha + b * hb 

M = 3,4 * 4,7 +  2,8 * 4,8 

M = 29,42 dm²

A: Die Mantelfläche beträgt 29,42 dm².

 

e) Berechnung der Oberfläche:

O = G+ M 

O = 9,52 + 29,42 

O = 38,94 dm²

A: Die Oberfläche beträgt 38,94 dm².

 

Aufgabe 2: Rechteckige Pyramide Volumen und Masse   

Rechteckige Pyramide aus Edelstahl mit a = 8,9 dm, b = 6,3 dm, h = 4,6 dm  Dichte 7,9 kg/dm³

gesucht:

a) Grundfläche  ? 

b) Volumen ?    

c) Masse ?

 

Lösung:

a) Berechnung der Grundfläche:

Gf = a * b

G= 8,9 * 6,3

Gf = 56,07 dm²

A: Die Grundfläche beträgt 56,07 dm².

 

b) Berechnung des Volumens

V = G* h : 3

V = 56,07 * 4,6

V = 257,92 dm³

A: Das Volumen beträgt 257,92 dm³.

 

c) Berechnung der Masse:

m = Volumen * Dichte 

m = 257,92 * 7,9

m = 2 037,57 kg  

A: Das Gewicht der Stahlpyramide beträgt 2037,57 kg. 

 

Aufgabe 3: Rechteckige Pyramide Volumen und Masse 2

gegeben: rechteckige Pyramide aus Eichenholz mit a = 5,9 dm, b = 4,3 dm, h = 6,6 dm  Dichte 0,9 kg/dm³

gesucht: a) Grundfläche ?  b) Volumen ?    c) Masse ?

 

Lösung:

a) Berechnung der Grundfläche:

Gf = a * b

G= 5,9 * 4,3

Gf = 25,37 dm²

A: Die Grundfläche beträgt 25,37 dm²

 

b) Berechnung des Volumens:

V = G* h : 3

V = 25,37 * 6,6

V = 167,44 dm³

A: Das Volumen beträgt 167,44 dm³

 

c) Berechnung der Masse:

m = Volumen * Dichte 

m = 167,44 * 0,9

m = 150,70 kg  

A: Das Gewicht der Pyramide aus Eichenholz beträgt 150,70 kg. 

 

Aufgabe 4: Rechteckige Pyramide Turmdachfläche

Turmdach rechteckige Pyramide mit a = 5,2 m, b = 3,8 m und h = 4,7 m

Für wie viel m² müssen Dachziegel angeschafft werden, wenn man mit 8 % Verschnitt rechnet?

 
Lösung:
 
1. Schritt: Berechnung von ha und hb

h= √ [h² + (b/2)²]

ha = √ (4,7² + 1,9²)

ha = 5,1 m

 

h= √ [h² + (a/2)²]

h= √ (4,7² + 2,6²)

hb = 5,4 m

 
2. Schritt: Berechnung des Mantels
 
M = a * ha + b * hb 

M = 5,2 * 5,1 +  3,8 * 5,4 

M = 47,04 m²

A: Die Mantelfläche beträgt 47,04 m².

 

3. Schritt: Berechnung vom Verschnitt

: 100%   –   47,04 m²

*108%   –         x m²

x = 47,04 * 108 : 100 

x = 50,80 m²

A: Es müssen insgesamt für 50,80 m² Dachziegel angeschafft werden.

 

Aufgabe 5: Rechteckige Pyramide Höhen und Seitenkanten 2

gegeben: rechteckige Pyramide mit a = 5,6 cm, b = 3,4 cm, s = 6,5 m

gesucht: a) Körperhöhe h    b) Höhe ha ?   c) Höhe hb ?  

 
Lösung:
 
a) Berechnung der Körperhöhe h:
 
Vorberechnung:
 
d = √ (a² + b²)
 
d = √ (5,6² + 3,4²)
 
d = 6,551… cm    d.f.  d/2 = 3,28 cm
 
 
h = √ [s² – (d/2)²]
 
= √ (6,5² – 3,28²)
 
h = 5,61 cm
 
A: Die Körperhöhe h beträgt 5,61 cm.  

 

b) Berechnung der Höhe ha:
 
h= √ [h² + (b/2)²]
 
ha = √ (5,61² + 1,7²)
 
ha = 5,86 cm
 
A: Die Höhe ha beträgt 5,86 cm.  

 

c) Berechnung der Höhe hb:
 
h= √ [h² + (a/2)²]
 
h= √ (5,61² + 2,8²)
 
hb = 6,27 cm
 
A: Die Höhe hb beträgt 6,27 cm.  
 
 

Aufgabe 6: Rechteckige Pyramide Höhen und Seitenkanten 3

gegeben: rechteckige Pyramide mit a = 10,2 cm, b = 6,4 cm, ha = 5,77 cm 

gesucht: a) Körperhöhe h ?   b)  Höhe hb ?   c) Seitenkante s ? 

 

Lösung:

a) Berechnung der Höhe h:

h = √ [ha² – (b/2)²]

h = √ (5,77² – 3,2²)

h = 4,8 cm

A: Die Höhe h beträgt 4,80 cm.  

 

b) Berechnung der Höhe hb:

h= √ [h² + (a/2)²]

h= √ (4,8² + 5,1²)

hb = 7 cm

A: Die Höhe hb beträgt 7 cm.  

 

c) Berechnung der Körperhöhe s:

Vorberechnung:

d = √ (a² + b²)

d = √ (10,2² + 6,4²)

d = 12,04 cm    d.f.  d/2 = 6,02 cm

 

s = √ [h² + (d/2)²]

= √ (4,8² + 6,02²)

s = 7,7 cm

A: Die Seitenkante s beträgt 7,7 cm.  

 

Aufgabe 7: Rechteckige Pyramide Umkehraufgabe 1

Rechteckige Pyramide mit a : b : s =  4 : 3 : 10.

Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt 216 cm. 

Fragestellung: 

a) Grundkanten, a, b und Seitenkante s    

b) Volumen

 
Lösung:
 
Wir ermitteln die Grundkanten a, b und Seitenkante s:

a : b : s =  4 : 3  : 10       

d.f.   a = 4t   b = 3t   s = 10t

 

GK = 2 * a + 2 * b + 4 * s  

216 = 2 * 4t + 2 * 3t + 4 * 10t  

216 = 8t + 6t + 40t 

216 = 54t   / : 54 

t = 4

 

d.f.  a = 4 * 4     d.f.  a = 16 cm

d.f.  b = 3 * 4     d.f.  b = 12 cm

d.f.  s = 10 * 4   d.f.   s = 40 cm

A: Die Grundkante a ist 16 cm, b ist 12 cm und s ist 40 cm lang.

 

Berechne das Volumen:

Gf = a * b   

Gf = 16 * 12 

Gf = 192 cm²

 

d = √  (a² + b²)

d = √  (16² + 12²)

d = 20 cm 

 

h = √  s² – (d/2)²

h = √  (40² – 10²)

h = 38,73 cm 

 

V = G* h : 3 

V = 192 * 38,73 : 3 

V = 2 478,72 cm³

A: Das Volumen beträgt 2 478,72 cm³. 

 

Aufgabe 8: Rechteckige Pyramide Umkehraufgabe 2

Rechteckige Pyramide mit a : b : s =  5 : 7 : 12.

Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt 144 cm. 

Fragestellung:

a) Grundkanten, a, b und Seitenkante s    

b) Volumen

 

Lösung:

Wir ermitteln die Grundkanten a, b und Seitenkante s:

a : b : s =  5 : 7 : 12       

d.f.   a = 5t   b = 7t   s = 12t

 

GK = 2 * a + 2 * b + 4 * s  

144 = 2 * 5t + 2 * 7t + 4 * 12t  

144 = 10t + 14t + 48t 

144 = 72t   / : 72 

t = 2

d.f.  a = 5 * 2     d.f.  a = 10 cm

d.f.  b = 7 * 2     d.f.  b = 14 cm

d.f.  s = 12 * 2   d.f.  s = 24 cm

A: Die Grundkante a ist 10 cm, b ist 14 cm und s ist 24 cm lang. 

 

Berechne das Volumen:

Gf = a * b   

Gf = 10 * 14 

Gf = 140 cm²

 

d = √(a² + b²)

d = √(10² + 14²)

d = 17,20 cm 

 

h = √ s² – (d/2)²

h = √ (24² – 8,6²)

h = 22,41 cm 

 

V = G* h : 3 

V = 140 * 22,41 : 3 

V = 1 045,8 cm³

A: Das Volumen beträgt 1 045,8 cm³.

  

Aufgabe 9: Rechteckige Pyramide Umkehraufgabe 3

Rechteckige Pyramide aus Edelstahl hat ein Gewicht von 182,6 kg.

Die Dichte beträgt 7,9 kg/dm³.

Die Seitenkante a beträgt 3,2 dm, die Seitenkante b beträgt 2,8 dm.

gesucht: a) Volumen ?   b) Höhe ?

 
Lösung:
 
Berechnung des Volumens:
 
Vorbemerkung: Umkehraufgabe

m = V * Dichte 

182,6 = V * 7,9   / : 7,9 

V = 23,11 dm³

A: Das Volumen beträgt 23,11 dm³.

 

Berechnung der Körperhöhe:

Vorberechnung Grundfläche

Gf = a * b

G= 3,2 * 2,8

Gf = 8,96 dm²

 

V = Gf * h : 3

23,11 = 8,96 * h : 3  / * 3 

69,33 = 8,96 * h  / : 8,96

h = 7,74 dm

A: Die Pyramide hat eine Höhe von 7,74 dm.

 

Aufgabe 10: Rechteckige Pyramide Umkehraufgabe 4

Das Turmdach rechteckige Pyramide hat eine Mantelfläche von 83,6 m².

Weiters bekannt sind  ha = 8,24 m, hb = 8,54 und b = 4 m

a) Seitenkante a ?

b) Oberfläche ?

c) Höhe des Turmdachs?

 
Lösung:
 
Berechnung von a:
 
Umkehraufgabe Mantel
 
M = a * ha + b * hb 

83,6 = a * 8,24 + 4 * 8,54

83,6 = a * 8,24 + 34,16    / – 34,16

49,44 = a * 8,24  / : 8,24

a = 6 m

A: Die Seitenkante a beträgt 6 m. 

 

Berechnung der Oberfläche:

O = Gf + M

O = 6 * 4 + 83,6

O = 107,6 m²

A: Die Oberfläche beträgt 107,6 m².

 

Berechnung der Turmhöhe:

h = √ [ha² – (b/2]

h = √ (8,24² – 2²)

h = 8 m


Kontrolle mit: 

h = √ [hb² – (a/2]

h = √ (8,54² – 3²)

h = 8 m 

A: Die Turmhöhe beträgt 8 m.