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Dezimalzahlen – Zahlensystem mit der Basis 10

Definition: Dezimalzahlen


Eine Dezimalzahl, auch Kommazahl besteht aus Vorkommastellen, einem Komma und Nachkommastellen.

Anders formuliert besteht die Dezimalzahl aus einem ganzzahligen Anteil und aus einem Bruchteil (z.B. 23,45).
 
Dezimalzahlen
 
Der ganzzahlige Anteil wird so wie bei den natürlichen Zahlen in Zehnereinheiten aufgeteilt: Einer, Zehner, Hunderter, etc. 
 
Der Bruchteil einer Dezimalzahl ist in Zehnteleinheiten aufgeteilt: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, etc.
 
Deshalb nennt man Dezimalzahlen auch Dezimalbrüche, die man in Brüche umwandeln kann. z.B. 0,7 ⇔ 7/10 
 
Die Trennung zwischen dem ganzzahligen Anteil und dem Bruchteil wird mit einem Komma dargestellt. 
 
 
 

Eigenschaften:  


– eine Dezimalzahl ist eine Zahl, die ein Komma aufweist. 

– sie besteht aus den Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,

– jeder Ziffer einer Dezimalzahl wird ein Stellenwert zugeordnet. 

– eine Dezimalzahl verwendet als Basis die Zahl 10

– mit Dezimalzahlen stellt man Anteile von ganzen Zahlen dar. 

– man unterscheidet zwischen Vorkomma- und Nachkommastellen

– die Stellen nach dem Komma werden als Dezimalzahlen bezeichnet.

 

Darstellung:


Zur Darstellung verwendet man die Dezimalziffern:

Symbol Bedeutung 
0 Null
1 Eins
2 Zwei
3 Drei
4 Vier
5 Fünf
6 Sechs
7 Sieben
8 Acht
9 Neun

 

Darstellung als Zehnerpotenz:


Dezimalzahlen werden als Zehnerpotenz mit einem negativem Exponenten dargestellt:

NKS Bezeichnung DZ ZP
1 Zehntel 0,1 10-1
2 Hundertstel 0,01 10-2
3 Tausendstel 0,001 10-3

NKS = Nachkommastelle 

DZ = Dezimalzahl 

Z = Zehnerpotenz

 

Beispiel für die Darstellung:


Ziffern vor dem Komma werden mit einer Zehnerpotenz eines positiven Exponenten multipliziert.

Ziffern nach dem Komma werden mit einer Zehnerpotenz eines negativen Exponenten multipliziert

[3459,167]10 = 3 * 103 + 4 * 102 + 5 * 101 + 9 * 10 + 1 * 10-1 + 6 * 10-2  + 7 * 10-3  
 
 

Stellenwerttafel Überblick:


… Md  HM  ZM  M  HT  ZT  T  Z   E , z  h  t   zt   ht  m  zm  hm md …

Bei der Stellenwerttaffel unterscheidet man zwischen dekadischen und dezimalen Einheiten:

 

Dekadische Einheiten:


Einheiten, die vor dem Komma stehen, nennt man dekadische Einheiten.

Hier unterscheidet man folgende dekadische Einheiten, die jeweils das Zehnfache (Deka) der vorherigen Einheit darstellen und mit Großbuchstaben abgekürzt werden:

E = Einer = 1

Z = Zehner = 10

H = Hunderter = 100

T = Tausender = 1 000

ZT = Zehntausender = 10 000

HT = Hunderttausender = 100 000

M = Millionen = 1 000 000

ZM = Zehnmillionen = 10 000 000

HM = Hundertmillionen = 100 000 000

Md = Milliarden = 1 000 000 000 

ZMd = Zehnmilliarden = 10 000 000 000

HMd = Hundertmilliarden = 100 000 000 000 

B = Billionen = 1 000 000 000 000 

 

Dezimale Einheiten:


Einheiten, die nach dem Komma stehen, nennt man dezimale Einheiten:

Man unterscheidet folgende dezimale Einheiten, die jeweils das Zehntel (Dezi) der vorherigen Einheiten darstellen und mit Kleinbuchstaben abgekürzt werden: 

z = Zehntel = 0,1

h = Hundertstel = 0,01

t = Tausendstel = 0,001

zt = Zehntausendstel = 0,000 1

ht = Hunderttausendstel = 0,000 01

m = Millionstel = 0,000 001

zm = Zehnmillionstel = 0,000 000 1

hm = Hundertmillionstel = 0,000 000 01

md = Milliardstel = 0,000 000 001

usw.

 

Dezimalzahlen Darstellung als Bruch:


NKS Bezeichnung DZ DB
1 Zehntel 0,1 1/10
2 Hundertstel 0,01 1/100
3 Tausendstel 0,001 1/1000

NKS = Nachkommastelle 

DZ = Dezimalzahl 

Z = Zehnerpotenz

 

Periodische Dezimalzahlen:


Eine periodische Dezimalzahl erkennt man daran, dass sich eine Ziffer oder eine Ziffernfolge nach dem Komma wiederholt.

Beispiel: 4,888….

Man unterscheidet folgende Arten von Perioden:

 

a) rein periodische Zahlen:

Hier beginnt die Periode sofort nach dem Komma.

Beispiel: 1/9 = 0,11111…  

Rein periodische Dezimalzahlen entstehen z.B. durch die Division von 9, 99, 999 etc.

Beispiel: 4 : 9 = 0,4444… 

 

b) gemischt periodische Zahlen:

Hier beginnt die Periode nicht sofort nach dem Komma.

Beispiel: 1/6 = 0,16666….

Gemischt periodische Dezimalzahlen entstehen z.B. durch die Division von 90, 990, 9990, etc.

Beispiel: 4 : 90 = 0,0444….

 

Abrunden von Dezimalzahlen: 


Wann und wie runden wir ab?

Wenn die Ziffer hinter dem zu rundenden Stellenwert 0, 1, 2, 3, 4 beträgt.

Der unterstrichene Stellenwert bleibt dann gleich und alle Stellen danach fallen weg.

 

Beispiel: 

Runde die Zahl 5 392,1936 auf Hundertstel.  

1. Schritt: Wir unterstreichen den zu rundenden Stellenwert

5 392,1936  Runde auf Hundertstel  

 

2. Schritt: Wenn die nachfolgende Ziffer eine 0,1,2,3,4 ist, wird abgerundet

Hier ist die nachfolgende Ziffer eine 3, deshalb runden wir ab. 

Die Hundertstelstelle 9 bleibt gleich. 

Ergebnis: 5 392,1936 ≈ 5 392,19

 

Aufrunden von Dezimalzahlen: 


Wann und wie runden wir auf?

Wenn die Ziffer hinter dem zu rundenden Stellenwert 5, 6, 7, 8 und 9 beträgt. 

Der unterstrichene Stellenwert wird um 1 erhöht und alle Stellen danach fallen weg.

 

Beispiel: 

Runde die Zahl 3 392,1656  auf Hundertstel. 

1. Schritt: Wir unterstreichen den zu rundenden Stellenwert

3 392,1656 Runde auf Hundertstel

 

2. Schritt: Wenn die nachfolgende Ziffer eine 5,6,7,8,9 ist, wird aufgerundet

Hier ist die nachfolgende Ziffer eine 5, deshalb runden wir auf. 

Die Hundertstelstelle 6 wird um + 1 erhöht = 7

Ergebnis: 3 392,1656 ≈ 3 392,17

  

Videos:


Multiplizieren von Dezimalzahlen im Kopf Video

 

PDF-Übungsblätter:


Dezimalzahlen dividieren mit 10/100/1000 Übungsblatt

Dezimalzahlen mit 0,1/0,01/0,001 dividieren Übungsblatt

Dezimalzahlen mit 0,1/0,01/0,001 multiplizieren Übungsblatt

Dezimalzahlen mit 10, 100, 1000 multiplizieren Übungsblatt

Dezimalzahlen Runden Übungsblatt 1

Dezimalzahlen Stellenwert Übungsblatt 1

Dezimalzahlen Stellenwert Übungsblatt 2

Dezimalzahlen Stellenwert Übungsblatt 3

Dezimalzahlen Textaufgaben Übungsblatt 1