Aufgabe: Winkelfunktionen Fünfeck Umkreis berechnen
Regelmäßiges Fünfeck:
gegeben: A = 620 cm²
gesucht: Umkreis
Lösung: Winkelfunktionen Fünfeck Umkreis berechnen
1. Schritt: spitzer Winkel α
Der Umkreis hat 360°.
Ein Fünfeck (Fünftel) hat 360° : 5 = 72°
Die Hälfte davon ist 72°: 2 = 36° (das Dreieck wird geteilt)
2. Schritt: Tangesfunktion
tan 36° = x : y
3. Schritt: Wir ermitteln x mit der Flächeninhaltsformel
Ein Teildreieck hat einen Flächeninhalt von: x * y : 2
Wir haben 10 Teildreiecke:
A = x * y : 2 * 10
620 = x * y * 5 / : 5
x * y = 105 / : y
x = 105
y
4. Schritt: Wir berechnen y durch Einsetzen
tan 36° = x
y
tan 36° = 105
y * y
tan 36° = 105 / * y²
y²
tan 36° * y² = 105 / : tan 36°
y² = 105 : tan 36° / √
y = 12,02 cm
5. Schritt: Wir berechnen r mit dem Cosinus
cos 36° = y : r / * r
cos 36° * r = y / : cos 36°
r = y : cos 36°
r = 12,02 : cos 36°
r = 14,86 cm
6. Schritt: Umkreisberechnung
U = 2 * r * π
U = 2 * 14,86 * π
U = 93,37 cm
A: Der Umkreis beträgt 93,37 cm.