Aufgabe: Winkelfunktionen Donauturm Schattenlänge Übung
Der Donauturm in Wien (Breitengrad 48° 12′) ist 252 m hoch.
Was für ein Schatten wirft er zu Mittag?
a) am 21. Juni (höchster Sonnenstand)
b) am 21. Dezember (niedrigster Sonnenstand)
Lösung: Winkelfunktionen Donauturm Schattenlänge Übung
1. Schritt: Aufstellen der Formeln:
Hierbei ist der Neigungswinkel der Erde bei der Umlaufbahn um die Sonne zu berücksichtigen (Ekliptik).
Diese beträgt ε = 23° 27′.
Der Breitengrad = β beträgt hier 48° 12′.
Höchster Sonnenstand = phi max = 90° – (β – ε)
Niedrigster Sonnenstand = phi min = 90° – (β + ε)
tan α = GK : AK
2. Schritt: Wir berechnen phi max und phi min
Vorberechnung:
48° 12 ‘ = 48 + 12/60 = 48,2° und 23° 27’ = 23 + 27/60 = 23,45°
φ max = 90° – (β – ε)
φ max = 90° – (48,2° – 23,45°)
φ max = 65,25°
φ min = 90° – (β + ε)
φ min= 90° – (48,2° + 23,45°)
φ min = 18,35°
3. Schritt: Wir berechnen die Schattenlänge für den 21. Juni
tan α = Gegenkathete (GK)
Ankathete (AK)
tan 65,25° = 252 : AK / * AK
tan 65,25° * AK = 252 / : tan 65,25°
AK = 252 : tan 65,25°
AK = 116,17 m
A: Die Schattenlänge am 21. Juni beträgt 116,17 m.
4. Schritt: Wir berechnen die Schattenlänge für den 21. Dezember
tan α = Gegenkathete (GK)
Ankathete (AK)
tan 18,35° = 252 : AK / * AK
tan 18,35° * AK = 252 / : tan 18,35°
AK = 252 : tan 18,35°
AK = 759,75 m
A: Die Schattenlänge am 21. Dezember beträgt 759,75 m.