Definition: Sinussatz
In jedem schiefwinkligen Dreieck sind die Verhältnisse der einzelnen Seitenlängen zum Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels gleich und gleich dem 2fachen Umkreisradius.
Um den Sinussatz anzuwenden, muss von drei Angaben mindestens eine Längenangabe dabei sein.
Formeln:
a) Ist eine Seitenlänge gefragt:
a = b = c = 2R
sin α sin β sin γ
b) Ist ein Winkel gefragt:
Anmerkung: Von den drei Brüchen sind jeweils zwei für die Berechnung notwendig, bzw. ein Bruch und der doppelte Umkreisradius.
Erklärung:
a = Seite a, sin α = Sinuswinkel alpha
b = Seite b, sin β = Sinuswinkel beta
c = Seite c, sin γ = Sinuswinkel gamma
R = Umkreisradius
Beispiele für die Anwendung:
a) Welche Formel verwenden wir bei folgender Angabe:
a = 36 m, α = 22°, γ = 28°, gesucht c = ?
Lösung:
Drei (a, sin α und sin γ) von vier Größen sind bekannt und die gesuchte Variable c ist im Zähler!
Anwendung:
Im Gegensatz zu den herkömmlichen Winkelfunktionen (Sinus, Tangens, und Cosinus) kann die Sinusformel bei allen schiefwinkligen Dreiecken angewendet werden.
Bei Vermessungsaufgaben ist er neben dem Cosinussatz einer der wichtigsten Rechenanwendungen.
Er ist als Verhältnisgleichung auch in der Umkehrung gültig.
Der Sinussatz ist anwendbar, wenn:
a) zwei Winkel und eine Seite gegeben sind (SWW-Satz)
b) zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, wobei die Winkel immer gegenüber den gegebenen Seiten liegen müssen (SSW-Satz)
Achte bei der Anwendung auf die gesuchte Größe:
Ist ein Winkel gefragt, nimm die Formel mit den Sinus Winkeln im Zähler.
Ist eine Seitenlänge gefragt, nimmt die Formel mit den Seitenlängen im Zähler.
Dadurch ersparst du dir unnötige Umformungen.
Beispiel:
3. Schritt: wir setzen die Zahlen ein und berechnen
Übungen Theorie:
Sinussatz Definition/Formeln Übung
PDF-Übungsblätter:
Sinussatz Aufgaben Übungsblatt