Aufgabe: Trigonometrie Cosinussatz Übung 3
Schiefwinkliges Dreieck:
a = 54 cm, b = 109 cm, c = 86 cm
gesucht: α, β, γ, A
Lösung: Trigonometrie Cosinussatz Übung 3
1. Berechnung von α
a² = b² + c² – 2bc * cos α / + 2bc * cos α
a² + 2bc * cos α = b² + c² / – a²
2bc * cos α = b² + c² – a² / : 2bc
cos α = (b² + c² – a²)
2bc
cos α = (109² + 86² – 54²)
(2*109*86)
cos α = 0,872..
α = 29,23°
A: Der Winkel α hat eine Größe von 29,23°.
2. Berechnung von β:
b² = a² + c² – 2ac * cos β / + 2ac * cos β
b² + 2ac * cos β = a² + c² / – b²
2ac * cos β = a² + c² – b² / : 2ac
cos β = (a² + c² – b²)
2ac
cos β = (54² + 86² – 109²)
(2*54*86)
cos β = – 0,168…
β = 99,73°
A: Der Winkel β beträgt 99,73°.
3. Berechnung des Winkels γ
γ = 180° – (α + β)
γ = 180° – (29,22° + 99,73°)
γ = 51,05°
A: Der Winkel γ beträgt 51,05°.
4. Berechnung des Flächeninhalts:
A = a * b * sin γ
2
A = 54 * 109 * sin 51,05°
2
A = 2 288,76 cm²
A: Der Flächeninhalt beträgt 2 288,76 cm².