Aufgabe: Cosinussatz Parallelogramm Übung 1
Die Diagonalen eines Parallelogramms ABCD (e = 142 cm, f = 78 m) schließen einen Winkel von ε = 72° ein.
a) Seiten a und b
b) alle vier Winkel
Lösung: Cosinussatz Parallelogramm Übung 1
1. Berechnung der Seite a:
a² = (e/2)² + (f/2)² – 2*e/2*f/2 * cos ε
a² = (71)² + (39)² – 2*71*39 * cos 72°
a² = 4 850,66… / √
a = 69,65 m
A: Der Seite a hat eine Länge von 69,65 m.
2 + 3. Berechnung der Seite b:
Vorberechnung Winkel ζ (zeta):
ζ = 180° – 72°
ζ = 108°
b² = (e/2)² + (f/2)² – 2*e/2*f/2 * cos ζ
b² = (71)² + (39)² – 2*71*39 * cos 108°
b² = 8 273,336… / √
b = 90,96 m
A: Die Seite b hat eine Länge von 90,96 m.
4. Berechnung des Winkels α und γ:
f² = a² + b² – 2ab * cos α / + 2ab * cos α
f² + 2ab * cos α = a² + b² / – f²
2ab * cos α = a² + b² – f² / : 2ab
cos α = (a² + b² – f²)
2ab
cos α = (69,65² + 90,96² – 78²)
(2 * 69,65 * 90,96)
cos α = 0,555…
α = 56,25°
d.f. γ = 56,25°
5. Berechnung der Winkel β und δ:
β = 180° – α
β = 180° – 56,25°
β = 123,75°
d.f. δ = 123,75°
A: Die Winkel betragen 56,25° (alpha und gamma) und 123,75° (beta und delta).