Aufgabe: Extremwertaufgaben berechnen Übung 1:
Einer Kugel mit dem Radius r = 10 cm soll ein Drehkegel mit dem größtmöglichen Volumen eingeschrieben werden.
Lösungen: Extremwertaufgaben berechnen Übung 1:
1. Skizze:
x = Radius des Drehkegels y = Höhe des Drehkegels
2. Hauptbedingung:
Die Hauptbedingung ist das Volumen des Drehkegels.
V = x² * π * y * 1/3
3. Nebenbedingung:
Die Nebenbedingung wird dem Höhensatz entnommen.
Höhensatz:
h² = p * q
x² = y * (2r – y)
4. Berechnung der Extremwerte:
Wir ersetzen in der Hauptbedingung x² durch die Nebenbedingung
V (y) = y * (2r – y) * π * y : 3
Der konstante Faktor π : 3 kann weggelassen werden.
V (y) = y * (2r – y) * y
Wir fassen die y außerhalb der Klammer zusammen:
V (y) = y² * (2r – y)
Wir multiplizieren:
V (y) = 2ry² – y³
5. Wir bilden die 1. Ableitung!
V (y) = 2ry² – y³
V’ (y) = 4ry – 3y²
6. Berechnung von y:
Wir setzen die 1. Ableitung gleich 0.
0 = 4ry – 3y²
Wir spalten auf, indem wir y herausheben:
0 = y * (4r – 3y)
y = 0 ist keine Lösung
0 = 4r – 3y
3y = 4r / : 3
y = 4r/3
y = 13,333..
y = 13,33 LE
7. Berechnung von x:
Wir übernehmen x² von der Nebenbedingung:
x² = y * (2r – y)
Wir ersetzen y jeweils mit 4r/3
x² = 4r/3 * (2r – 4r/3)
Wir bilden den gemeinsamen Nenner in der Klammer
x² = 4r/3 * (2r * 3 – 4r)
1 * 3 3
x² = 4r/3 * (6r/3 – 4r/3)
Wir multiplizieren:
x² = 4r/3 * 2r/3
x² = 8r²/9
Wir ziehen die Quadratwurzel:
x² = 8r² / √
9
Im Zähler teilweises Wurzelziehen bei 8
√8 = √4 * √2 d.f. 2 * √2
Sonst normales Wurzelziehen:
√x² = x und √r² = r
Wir fassen zusammen:
x = 2r * √2
3
Wir berechnen x
x = 9,428…
x = 9,43 cm
8. Berechnung des Volumens:
Wir übernehmen die Formel für das Volumen von der Hauptbedingung.
Wir ersetzen x durch 8r²/9 und y durch 4r/3
V = 8r²/9 * π * 4r/3 * 1/3
Wir multiplizieren und erhalten:
V = 32r³ * π
81
V = 1241,123..
V = 1241,12 cm³
Das Volumen beträgt 1241,12 cm³.