Aufgabe: Quadratische Gleichung Linearfaktorzerlegung Übung 3
gegeben: 3x² + 24x + 36 = 0
Gleichung x² + px + q = 0 in ℝ
gesucht: x1, x2
Lösung: Quadratische Gleichung Linearfaktorzerlegung Übung 3
Vorgangsweise
Ausgehend von der Grundformel (x – x1) • (x – x2) = 0 müssen wir Werte für x1 und x2 finden, die in der Addition p und und in der Multiplikation q ergeben:
1. Schritt: wir heben zuerst die Zahl 3 heraus:
3x² + 24x + 36 = 0
3 • (x² + 8x + 12) = 0
2. Schritt: zwei Faktoren, die q = + 12 ergeben
3 • (x² + 8x + 12) = 0
Dazu zerlegen wir + 12 in zwei Faktoren:
x1 • x2 = q
(- 2) • (- 6) = +12
+ 2 • + 6 = + 12
(-1) • (-12) = + 12
+ 1 • + 12 = + 12
(- 3) • (- 4) = + 12
+ 3 • + 4 = + 12
3. Schritt: wir berechnen p = 8
x1 + x2 = – p
x1 + x2 = – 8
⇒ x1 = – 2
⇒ x2 = – 6
Da diese beiden Faktoren in der Addition – 8 ergeben müssen, kann nur x1 = – 2 und x2 = – 6 eine Lösung sein.
⇒ L = { – 2; – 6}
4. Schritt: Probe mit x1 = – 2 und x2 = – 6
3 • (x – x1) • (x – x2) = 3x² + 24x + 36
3 • (x – (- 2) • (x – (- 6)) = 3x² + 24x + 36
3 • (x + 2) • (x + 6) = 3x² + 24x + 36
3 • (x² + 2x + 6x + 12) = 3x² + 24x + 36
3 • (x² + 8x + 12) = 3x² + 24x + 36
3x² + 24x + 36 = 3x² + 24x + 36 w. A.