Quadratische Gleichung Linearfaktorzerlegung Übung 2

gegeben: x² – 3x – 10 = 0    Grundmenge = ℝ

Berechne mit der Satzgruppe von Vieta die Linearfaktoren x₁ und x_2-

Lösung: Quadratische Gleichung Linearfaktorzerlegung Übung 2

Ausgehend von der Grundformel (x – x₁) • (x – x₂) = 0 müssen wir Werte für x₁ und x₂ finden, die in der Addition p und und in der Multiplikation q ergeben: 

1. Schritt: wir bestimmen p und q:

p = – 3 und q = – 10

2. Schritt: zwei Faktoren, die q = – 10 ergeben

x² – 3x – 10 = 0

Dazu zerlegen wir -10 in zwei Faktoren:

x₁ • x₂ = – 10

(- 2) •  (+ 5)  = – 10

+ 2 • ( – 5) = – 10 

(-1) • (+ 10) = – 10

(+ 1) • (- 10) = – 10

3. Schritt: p = – 3

x₁ + x₂ = – p

x₁ + x₂ = – (- 3) 

x₁ + x₂ = + 3

⇒ x₁ = – 2

⇒ x₂ = + 5

Da diese beiden Faktoren in der Addition + 3 ergeben müssen, kann nur x₁ = – 2 und x₂ = 5 eine Lösung sein.

Weil die Gleichung (x – x₁) • (x – x₂) eingegeben, verändern sich die Vorzeichen von x₁ und x₂

⇒ L = { – 2; + 5}

4. Schritt: Probe mit x₁ = – 2 und x₂ = + 5

(x – x₁) • (x – x₂) = x² – 3x – 10 

(x – (- 2) • (x – 5) = x² – 3x – 10 

x² + 2x – 5x – 10 = x² – 3x – 10 

x² – 3x – 10 = x² – 3x – 10   w. A.