Aufgabe: Quadratische Gleichung Linearfaktorzerlegung Übung 1
gegeben: x² – 9x + 14 = 0
Gleichung x² + px + q = 0 in ℝ
Berechne mit der Satzgruppe von Vieta die Linearfaktoren x1 und x2
Lösung: Quadratische Gleichung Linearfaktorzerlegung Übung 1
Vorgangsweise
Ausgehend von der Grundformel (x – x1) • (x – x2) = 0 müssen wir Werte für x1 und x2 finden, die in der Addition p und und in der Multiplikation q ergeben:
1. Schritt: wir bestimmen p und q:
p = – 9 und q = + 14
2. Schritt: Ermittlung von zwei Faktoren, die q = 14 ergeben
x² – 9x + 14 = 0
Dazu zerlegen wir 14 in zwei Faktoren und erhalten 4 Möglichkeiten!
x1 • x2 = q
+ 2 • + 7 = 14
– 2 • (- 7) = 14
+ 1 • + 14 = 14
– 1 • (- 14) = 14
3. Schritt: wir berechnen p = – 9
x1 + x2 = – p
x1 + x2 = – (- 9)
x1 + x2 = + 9
⇒ x1 = + 7
⇒ x2 = + 2
Da diese beiden Faktoren in der Addition + 9 ergeben müssen, kann nur x1 = 7 und x2 = 2 eine Lösung sein.
⇒ L = { +7; 2}
4. Schritt: Probe mit x1 = 7 und x2 = 2
(x – x1) • (x – x2) = x² – 9x + 14
(x – 7) • (x – 2) = x² – 9x + 14
x² – 7x – 2x + 14 = x² – 9x + 14
x² – 9x + 14 = x² – 9x + 14 w. A.