Definition Wurzelgleichung:
Vorgehensweise:
Definitionsmenge:
Hier wird fest gelegt, welche Werte von der Grundmenge ausgeschlossen werden müssen.
Ausgeschlossen werden jene Werte, die zu einem negativen Ergebnis unter einer Wurzel führen.
Beispiel:
4 + √(2x – 5) = 6 Grundmenge = ℝ
2x – 5 ≥ 0 / + 5
2x ≥ + 5 / : 2
x ≥ + 2,5
d.f. Definitionsmenge: D = {x ∈ ℝ | x ≥ 2,5}
Zudem ist die Probe bei Wurzelgleichungen immer erforderlich, da durch das Quadrieren (welches keine Äquivalenzumformung darstellt), falsche Lösungen erzielt werden können!
Wurzeln isolieren:
Eine grundlegende Vorgehensweise bei Wurzelgleichungen ist das Isolieren von Wurzeln, da dadurch die Berechnungen vereinfacht werden können.
Beispiel:
4x – 4 = 2*√(x – 4) + 6 / – 6
4x – 10 = 2*√(x – 4) / : 2
2x – 5 = √(x – 4) jetzt ist die Wurzel rechts isoliert.
Quadrieren von Summen/Differenzen:
Summen (a + b) und Differenzen (a – b) müssen beim Quadrieren nach binomischen Formeln aufgelöst werden:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Beispiel für eine quadrierte Summe:
(6 + √3x) / ²
(6 + √3x)²
36 + 12*√3x + 3x
Beispiel für eine quadrierte Differenz
(5 – 2√7x) / ²
(5 – 2√7x)²
25 – 20√7x + 28x
Beispiel:
Wurzelgleichung: √(4x – 13) = 1 + 2√(x – 5) Grundmenge: ℝ ;
a) Wir bilden die Definitionsmenge:
√(4x – 13) = 1 + 2√(x – 5)
1. Wurzel: 4x – 13 ≥ 0 / + 13
4x ≥ + 13 / : 4 x
≥ + 3,25
2. Wurzel: ; x – 5 ≥ 0 / + 5 ;
x ≥ 5
d.f. Definitionsmenge: D = {x ∈ ℝ | x ≥ 5}
b) Wir berechnen x:
1. Schritt: Wir quadrieren beide Seiten
√(4x – 13) = 1 + 2√(x – 5) / ²
4x – 13 = 1 + 4*√(x – 5) + 4 * (x – 5) (a² + 2ab + b²)
4x – 13 = 1 + 4x – 20 + 4√(x – 5)
2. Schritt: Wir isolieren die Wurzel rechts
4x – 13 = 1 + 4x – 20 + 4√(x – 5)
4x – 13 = – 19 + 4x + 4√(x – 5) / – 4x
– 13 = – 19 + 4√(x – 5) / + 19
+ 6 = 4√(x – 5) / : 4
3. Schritt: Wir quadrieren nochmals beide Seiten
1,5 = √(x – 5) / ²
4. Schritt: Wir berechnen x
2,25 = x – 5 / + 5
x = 7,25 ist laut Definitionsmenge
D = {x ∈ ℝ | x ≥ 6,5} eine mögliche Lösung!
c) Probe:
Wir ersetzen x durch 7,25:
√(4 * 7,25 – 13) = 1 + 2√(7,25 – 5)
√(29 – 13) = 1 + 2√(2,25)
√16 = 1 + 3
Beide Seiten der Gleichung ergeben + 4 d.f. wahre Aussage!
d.f. Lösungsmenge: L = {7,25}
PDF-Blätter zum Ausdrucken:
Wurzelgleichung Beispiel Merkblatt