Definition: Mitternachtsformel
Die Mitternachtsformel wird hinsichtlich ihrer drei Variablen auch abc-Formel genannt.
Mit ihr können Gleichungen der allgemeinen quadratischen Form ax² + bx + c = 0 gelöst werden.
Voraussetzung: a, b, c ∈ ℝ und a ≠ 0
Formel:
Die Mitternachtsformel wird folgendermaßen gebildet:
Fallunterscheidungen:
Die Diskriminante (b² – 4ac) entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung
a) D > 0 d.f. 2 Lösungen
Wenn das Ergebnis der Diskriminante größer als Null ist (positive Zahl), erhalten wir zwei Lösungen.
L = {x1; x2} da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse
b) D = 0 d.f. 1 Lösung
Wenn das Ergebnis der Diskriminante gleich Null ist, erhalten wir eine Lösung.
L = {x} da ein Berührungspunkt mit der x-Achse
c) D < 0 d.f. keine Lösung
Wenn das Ergebnis der Diskriminante kleiner als Null ist (negative Zahl), erhalten wir keine Lösungen.
L = { } da kein Schnittpunkt mit der x-Achse
Beispiel:
gegeben: 4x² + 8x – 60 = 0 Grundmenge = ℝ
gesucht: x1, x2
1. Schritt: Variablen definieren
a = + 4, b = + 8 und c = -60
2. Schritt: Mitternachtsformel
3. Schritt: Wir bestimmen x1 und x2
x1 = (- 8 + 32) : 8
⇒ x1 = 24/8
⇒ x1 = +3
x2 = (- 8 – 32) : 8
⇒ x2 = -40/8
⇒ x2 = -5
L = {- 5; + 3}
4. Schritt:
Probe mit x1 = + 3
4 • 3² + 8 • 3 – 60 = 0
36 + 24 – 60 = 0
d.f. wahre Aussage
Probe mit x2 = -5
4 • (-5)² + 8 • (-5) – 60 = 0
100 – 40 – 60 = 0
d.f. wahre Aussage
Hier erhältst du weitere Informationen:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#a-b-c-Formel