Pythagoras gleichseitiges Dreieck:
Die Höhe ha teilt das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Satz des Pythagoras:
Formel:
a² = ha² + (a/2)²
praktische Anwendung:
ha = a • √3 : 2
A = a² • √3 : 4
Umkehraufgaben:
Flächeninhaltsformel:
A = a² : 4 • √3
⇒ a = √(4 • A : √3)
Formel für die Höhe:
ha = a/2 • √3
⇒ a = 2 • ha : √3
Herleitung der Formel für ha:
Da hier wieder zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks den gleichen Buchstaben haben (a) können wir eine Formel herleiten
1. Schritt: Grundformel
ha = √ a² – (a/2)²
2. Schritt: wir potenzieren die 2. Kathete
ha = √ a² – a²/4
3. Schritt: wir bilden den gemeinsamen Nenner
ha = √ 4a²/4 – a²/4
4. Schritt: wir fassen zusammen
ha = √ 3a²/4
5. Schritt: wir teilen in zwei Wurzeln
ha = √ 3 • √ (a²/4)
6. Schritt: teilweises Wurzelziehen
ha = √ 3 • a/2
Herleitung der Flächeninhaltsformel:
Wir setzen die obigen Variablen in die Grundformel ein:
Beispiel:
gleichseitiges Dreieck: a = 4,6 cm
a) die Höhe ha = ?
b) den Flächeninhalt A = ?
c) den Umfang U = ?
a) Höhe ha:
ha = 3,98 cm
A: Die Höhe ha beträgt 3,98 cm.
b) Flächeninhalt:
A = 9,16 cm²
A: Der Flächeninhalt beträgt 9,16 cm².
c) Umfang:
U = 3 • a
U = 3 • 4,6 cm
U = 13,8 cm
Tests:
Gleichseitiges Dreieck Herleitung Höhe Test
Videos:
Gleichseitiges Dreieck Herleitung Formeln Video
Übungsblätter:
Pythagoras gleichseitiges Dreieck Übungsblatt
Pythagoras gleichseitiges Dreieck Merkblatt
Pythagoras gleichseitiges Dreieck Aufgabenblatt