Quadratischer Pyramidenstumpf anteiliges Volumen

Aufgabe: Quadratischer Pyramidenstumpf anteiliges Volumen

Quadratischer Pyramidenstumpf:

gegeben: a = 14,2 dm, b = 4,4 dm, h = 5,4 dm

gesucht: anteiliges Volumen des Pyramidenstumpfs an der ganzen Pyramide.

1. Schritt: Volumen des quadratischen Pyramidenstumpfs

Gf₁ = a * a ⇒ Gf₁ = 14,2 * 14,2 ⇒ Gf₁ = 201,64 dm²

Gf₂ = b * b ⇒ Gf₂ = 4,4 * 4,4 ⇒ Gf₂ = 19,36 dm²

Das Volumen kann jetzt direkt mit folgender Formel berechnet werden:

V = (Gf₁ + √(Gf₁*Gf₂) + Gf₂) * h : 3

V = (201,64 + √(201,64*19,36) + 19,36) * 5,4 : 3

V = 510,26 dm³

2. Schritt: Berechnung der Höhe der ganzen Pyramide

Schnittbild des Pyramidenstumpfes:

Daraus ergibt sich:

x : (x + h) = b : a / Quadrieren

x² : (x + h)² = b² : a² /b² und a² sind identisch mit den Grundflächen GF2 und GF1

x² : (x + h)² = Gf2 : GF1

Daraus abgeleitet:

x = h * √Gf2

√Gf1 – √Gf2

x = 5,4 * √19,36

(√201,64 -√19,36)

x = 2,42 dm

Gesamthöhe:

H = h + x

H = 5,4 + 2,42

H = 7,82 dm

3. Schritt: Berechnung des Volumens der ganzen Pyramide

V = Gf₁ * H : 3

V = 201,64 * 7,82 : 3

V = 525,61 dm³

4. Schritt: Berechnung des anteiligen Volumen des Pyramidenstumpfs

p = Volumen Pyramidenstumpf * 100

Volumen Pyramide

p = 510,26 * 100

525,61

p = 97,08%

A: Der Volumensanteil des Pyramidenstumpfs an der ganzen Pyramide beträgt 97,08%.