Methode des Ergänzens auf ein vollständiges Quadrat Übung 4

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Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat 3:

gegeben: 3x² – 54x + 135 = 0

gesucht: x₁ und x₂

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Lösung:

1. Schritt: Vereinfachen und Konstante auf die rechte Seite

3x² – 54x + 135 = 0 / : 3

x² – 18x + 45 = 0 / – 45

x² – 18x = – 45

2. Schritt: Ermittlung des fehlenden 3. Gliedes = b²

a² + 2ab + b² = – 45 + b²

x² – 18x = – 45

1. Wir bestimmen a

a = 1 weil √a² = √1 = 1

2. Wir setzen das Mittelstück der binomischen Formel gleich den angegebenen + 10

-2*a*b = -18

3. Wir berechnen b

2 * 1 * b = 10

-2b = – 18 / : (- 2)

b = 9

4. Wir bestimmen b²

b² = (9)² = 81

3. Schritt: Wir addieren auf beiden Seiten b²

x² – 18x + b² = – 45 + b²

x² – 18x + 81 = – 45 + 81

4. Schritt: Rückführung der Binomischen Formel links

x² – 18x + 81 = – 45 + 81

x² – 18x + 81 = + 36

(x – 9)² = 36

5. Schritt: Berechnung von x₁ und x₂

(x – 9)² = 36 / √

x – 9 = +/- 6

d.f. x_{1 :} x – 9 = + 6 / + 9 ⇒ x₁ = + 15

d.f. x₂: x – 9 = – 6 / + 9 ⇒ x₂ = + 3

L = {+3; +15}

6. Schritt: Probe

3 * (x – x₁) * (x – x₂) = 0

3 * (x – 3) * (x – 15) = 0

3 * (x² – 3x – 15x + 45) = 0

3 * (x² – 18x + 45) = 0

3x² – 54x + 135 = 0 w.A.