Methode des Ergänzens auf ein vollständiges Quadrat Übung 3

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Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat 3:

gegeben: x² + 14x – 15 = 0

gesucht: x₁ und x₂

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Lösung:

1. Schritt: Konstante auf die rechte Seite

x² + 14x – 15 = 0 / + 15

x² + 14x = + 15

2. Schritt: Ermittlung des fehlenden 3. Gliedes = b²

a² + 2ab + b² = + 15 + b²

x² + 14x = + 15

Wir bestimmen a

a = 1 weil √a² = √1 = 1

Wir setzen das Mittelstück der binomischen Formel gleich den angegebenen + 10

2*a*b = 14

Wir berechnen b

2 * 1 * b = 10

2b = 14 / : 2

b = 7

Wir bestimmen b²

b² = (7)² =49

3. Schritt: Wir addieren auf beiden Seiten b²

x² + 14x + b² = + 15 + b²x² + 14x + 49 = + 15 + 49

4. Schritt: Rückführung der Binomischen Formel links

x² + 14x + 49 = + 15 + 49

x² + 14x + 49 = + 64

(x + 7)² = 64

5. Schritt: Berechnung von x₁ und x₂

(x + 7)² = 64 / √

x + 7 = +/- 8

d.f. x_{1 :} x + 7 = + 8 / – 7 ⇒ x₁ = + 1

d.f. x₂: x + 7 = – 8 / – 7 ⇒ x₂ = – 15

L = {-15; +1}

6. Schritt: Probe

(x – x₁) * (x – x₂) = 0

(x – (-15)) * (x – 1) = 0

(x + 15) * (x – 1) = 0

x² + 15x – x – 15 = 0

x² + 14x – 15 = 0 w.A.