Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen

Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen:

Beim Ziehen ungeordneter Stichproben mit Zurücklegen muss keine Reihenfolge eingehalten werden und die jeweils gezogene Stichprobe wird wieder zurück gelegt.

Formel:

Aus n verschiedenen Elementen einer Menge erhält man durch k-faches Ziehen ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen:

wobei (n, k ∈ N*)

Beispiel ohne Kombinatorik:

In einer Urne befinden sich 15 Kugeln. 5 Kugeln sind rot, 5 Kugeln sind blau und 5 Kugeln sind gelb.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das nach zwei Mal ziehen mit Zurücklegen mindestens 1 rote Kugel dabei ist?

Rechenanweisung:

Es müssen die Wahrscheinlichkeiten für rot|rot, rot|nicht rot und nicht rot|rot ermittelt werden und dann zur Gesamtwahrscheinlichkeit addiert werden.

P(rot|rot) = 5/15 * 5/15 = 1/9

P(rot|nicht rot) = 5/15 * 10/15 = 2/9

P(nicht rot|rot) = 10/15 * 5/15 = 2/9

P (mindestens einmal rot) = 1/9 + 2/9 + 2/9 = 5/9

P (mindestens einmal rot) = 0,555…. / * 100

P (mindestens einmal rot) = 55,56%

A: Die Wahrscheinlichkeit, das nach zwei Mal ziehen mindestens eine rote Kugel dabei ist, beträgt 55,56%.

Beispiel mit Kombinatorik:

Aus einer Urne mit 10 verschieden Kugeln werden 4 Kugeln nacheinander und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge mit Zurücklegen gezogen. Wie viele Möglichkeiten ergeben sich daraus?