Kombinatorik Überblick:
Hinsichtlich der Kombinatorik unterscheiden wir vier Möglichkeiten und einen Sonderfall.
1. Ziehen geordneter Stichproben mit Zurücklegen
2. Ziehen geordneter Stichproben ohne Zurücklegen
3. Ziehen ungeordneter Stichproben mit Zurücklegen
4. Ziehen ungeordneter Stichproben ohne Zurücklegen
5. Sonderfall Permutation
1. Ziehen geordneter Stichproben mit Zurücklegen:
Formel:
Aus n verschiedenen Elementen einer Menge erhält man durch k-faches Ziehen geordnete Stichproben mit Zurücklegen:
wobei (n, k ∈ N*) Beispiel
Ein Fahrradschloss hat 5 Räder und jedes Rad hat die Ziffern 0 – 9
Wie viele Zahlenkombinationen hat das Schloss?
n = Grundmenge: 10 und k = Ziehen aus der Grundmenge: 5
|Ω| = nk d.f. |Ω| = 105 = 100 000 Möglichkeiten
2. Ziehen geordneter Stichproben ohne Zurücklegen:
Formel:
Aus n verschiedenen Elementen einer Menge erhält man durch k-faches Ziehen geordnete Stichproben ohne Zurücklegen:
wobei (n, k ∈ N*)
Beispiel:
In einer Lostrommel befinden sich 5 Losen mit den Nummern 1 – 5.
Ein Spieler zieht nacheinander 3 Lose.
Zieht er in der Reihenfolge die Nummern 1, 3 und 5 so hat er gewonnen.
Wie viele Kombinationen ergeben sich daraus?
3. Ziehen ungeordneter Stichproben mit Zurücklegen:
Formel:
Aus n verschiedenen Elementen einer Menge erhält man durch k-faches Ziehen ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen:
Beispiel:
Aus einer Urne mit 10 verschieden Kugeln werden 4 Kugeln nacheinander und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge mit Zurücklegen gezogen.
Wie viele Möglichkeiten ergeben sich daraus?
Berechnung der Fakultäten:
13! = 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * …. * 1
4! = 4 * 3 * 2 * 1
9! = 9 * 8 * 7 * … * 1
|Ω| = 13 * 11 * 5
|Ω| = 715 Möglichkeiten
4. Ziehen ungeordneter Stichproben ohne Zurücklegen:
Formel:
Aus n verschiedenen Elementen einer Menge erhält man durch k-faches Ziehen ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen:
Anmerkung: Ein Produkt, bei dem jeder Folgefaktor um 1 erniedrigt wird, nennt man Fakultät.
(n – k) * (n – k – 1) * (n – k – 2) … weil nicht zurückgelegt wird, vermindert sich die Grundmenge immer um 1).
Beispiel:
Bei einer Lottoziehung werden aus 45 Zahlen 6 gezogen. Ermittle die möglichen Kombinationen.
Berechne die Fakultäten:
45! = 45 * 44 * 43 * 42 * 41 * 40 * 39 * 38 * 37 … * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1
39! = 39 * 38 * 37 …. * 1
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
5. Permutationen:
Beispiel:
In einer Urne befinden sich vier rote und drei grüne Kugeln.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?