Binomialverteilung mindestens zwei Treffer

Aufgabe: Binomialverteilung mindestens zwei Treffer

Ein ungeübter Schütze schießt bei einem Schießstand und trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 die Scheibe.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Versuchen die Scheibe mindestens 2 mal zu treffen?

Wahrscheinlichkeit mindestens 2x zu treffen:

Wir berechnen hier die Gegenwahrscheinlichkeit 1 – P (x ≤ 1)

Wahrscheinlichkeit nie zu treffen:

n = Anzahl der Versuche: 10

k = Anzahl der erfolgreichen Versuche: 0

n – k = Anzahl der nicht erfolgreichen Versuche: 10

p = Wahrscheinlichkeit für einen Treffer: 0,2

q = Wahrscheinlichkeit für einen nicht erfolgreichen Versuch: 1 – 0,2 = 0,8

Wahrscheinlichkeit 1 mal zu treffen:

n = Anzahl der Versuche: 10

k = Anzahl der erfolgreichen Versuche: 1

n – k = Anzahl der nicht erfolgreichen Versuche: 9

p = Wahrscheinlichkeit für einen Treffer: 0,2

q = Wahrscheinlichkeit für einen nicht erfolgreichen Versuch: 1 – 0,2 = 0,8

Berechnung der Binomialkoeffizienten:

Berechnung der Fakultäten:

10! = 1 Möglichkeit

10! • 0!

Berechnung der Fakultäten:

10! = 10 Möglichkeiten

9!• 1!

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer:

Wir nehmen hier die Gegenwahrscheinlichkeit von “nie zu treffen + 1 mal treffen“

1 – P (nie und 1 mal zu treffen) = 1 – [(0,2)⁰ • (0,8)¹⁰• 1 + (0,2)¹ • (0,8)⁹• 10 ]

1 – P (nie und 1 mal zu treffen) = 1 – 03758..

1 – P (nie und 1 mal zu treffen) = 0,62419… / • 100

P (mindestens 1x Treffer) = 62,42%

A: Die Wahrscheinlichkeit mindestens 2x zu treffen liegt bei 62,42%.