Definition Winkelfunktionen:
Mit Winkelfunktionen (tan, sin, und cos) sind wir in der Lage, mittels eines Winkels und einer Seite alle anderen Größen eines rechtwinkligen Dreiecks auszurechnen.
Die Gegenkathete (hier Seite a) befindet sich gegenüber dem Winkel α.
Die Ankathete (hier Seite b) berührt den Winkel α.
Die Hypotenuse (hier Seite c) befindet sich gegenüber dem rechten Winkel.
Berechnungen erfolgen mit dem Taschenrechner:
a) Umrechnung vom Winkel- ins Dezimalsystem:
z.B. sin 45° ⇒ Taschenrechner Taste “sin” ⇒ 0,707……
b) Umrechnung vom Dezimal- ins Winkelsystem:
z.B. sin 0,707… ⇒ Taschenrechner Taste “sin-1” ⇒ 45°
Winkelfunktion Tangens:
Beispiel:
Gegenkathete 18 m, Ankathete 12 m, alpha = ?
Winkelfunktion Sinus:
Skizze:
Beispiel:
Gegenkathete 18 m, Hypotenuse 21,63 m, alpha = ?
Winkelfunktion Cosinus:
Beispiel:
Ankathete 12 m, Hypotenuse 21,63 m
Beziehungen zwischen Winkelfunktionen:
| sin² α + cos² α = 1 |
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d.f. sin² α = 1 – cos² α
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d.f. cos² α = 1 – sin² α
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tan α = sin α
cos α
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cot α = 1 = cos α
tan α sin α
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tan² α + 1 = 1
cos² α
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1 + 1 = 1
tan² α sin² α
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Vorzeichen der Winkelfunktionen:
| 0° < α < 90° | 90° < α < 180° | |
| sin α | + | + |
| cos α | + | – |
| tan α | + | – |
| 180° < α < 270° | 270° < α < 360° | |
| sin α | – | – |
| cos α | – | + |
| tan α | + | – |
Textaufgaben:
Bei Textaufgaben gilt es folgende Vorgangsweise einzuhalten:
1. Skizze anfertigen
2. Größen definieren
3. Sich einen Lösungsweg überlegen
4. Rechnung anschreiben
Beispiel:
1. Schritt: Wir definieren die Variablen
Gegenkathete (GK) = 2,6 m
Hypotenuse (H) = 3 m
Neigungswinkel α = ?
gewählte Winkelfunktion: sin α