Streuungsmaße Überblick:
Streuungsmaße (Disperionsmaße) genannt, fassen in der deskriptiven Statistik verschiedene Maßzahlen zusammen, die die Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben.
Wir unterscheiden folgende Streuungsmaße: Spannweite, Varianz und Standardabweichung.
Spannweite (Range):
Definition:
Die Spannweite (Range) ist die Differenz zwischen dem kleinsten und größten Beobachtungswert eines Datensatzes.
Der Nachteil der Spannweite ist der hohe Einfluss von Ausreißern, während Zwischenwerte unberücksichtigt bleiben.
Formel:
Bezeichnungen:
R = Spannweite
xmax = Maximalwert
xmin = Minimumwert
Stichprobe 4,2 5,3 4,7 6,2 4,8
Spannbreite R = xmax – xmin
Spannweite R = 6,2 – 4,2
Spannweite R = 2
Varianz:
Definition:
Die Varianz beschreibt die zu erwartenden quadratische Abweichung der reellen Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert/Mittelwert. Sie ist das Quadrat der Standardabweichung.
Anders formuliert gibt die Varianz an, wie stark die Ergebnisse einer Stichprobe vom arithmetischen Mittel streuen bzw. abweichen.
Bezeichnungen:
s² = Varianz
n = Anzahl der Werte einer Stichprobe xi
xi = i-ter Beobachtungswert i ∈ IN
= arithmetisches Mittel
Standardabweichung:
Definition:
Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel aus der Varianz mit der man die Streuung von Verteilungen misst.
Die Standardabweichung ist entweder Null (wenn alle Werte gleich sind) oder eine positive Zahl.
Der Vorteil gegenüber der Varianz besteht darin, dass sie die gleiche Dimension wie die Beobachtungswerte aufweist (z.B. € oder ° C)
Eine höhere Varianz bedeutet eine höhere Standardabweichung und umgekehrt.
Formel:
Bezeichnungen:
s = Standardabweichung
s² = Varianz
Beispiel:
Arithmetisches Mittel = 4
Datenreihe 4,8 5,2 3,6 2,4
Berechne die Varianz und Standardabweichung vom Mittelwert:
Vorgehensweise:
1. Wir ziehen jeweils vom vorgefunden Wert das arithmetische Mittel ab.
2. Wir quadrieren dieses Ergebnis
3. Wir bilden die Summen und dividieren diese durch die Anzahl.
4. Wir ziehen die Quadratwurzel und der positive Wert ergibt die Standardabweichung
Berechnung der Varianz:
s² = [(4,8 – 4)² + (5,2 – 4)² + (3,6 – 4)² + (2,4 – 4)²] : 4
s² = [(0,8)² + (1,2)² + (0,4)² + (1,6)²] : 4
s² = [0,64 + 1,44 + 0,16 + 2,56] : 4
s² = 4,8 : 4
s² = 1,2 (Varianz)
Berechnung der Standardabweichung:
s = √1,2
s = 1,10 (gerundet auf 2 Kommastellen)
A: Die Standardabweichung liegt bei 1,10.