Wurzelgleichung Überblick

Kategorie: Quadratische Gleichungen
LF quadratische Gleichungen, Quadratische Gleichungen, Wurzelgleichung

Definition Wurzelgleichung:

Unter einer Wurzelgleichung versteht man eine Gleichung, in denen die Variable x mindestens einmal unter einer Wurzel steht.

Vorgehensweise:

Grundlegende Rechenvorgänge beim Lösen von Wurzelgleichungen sind:

1. Bildung einer Definitionsmenge

Hier werden Werte aus der Grundmenge ausgeschlossen, die keine Lösung sein können

2. Berechnung der Variablen

Dabei werden Wurzeln nach Möglichkeit isoliert und Summen und Differenzen werden quadriert, indem man sie wie 1. und 2. binomische Formeln berechnet.

3. Ergebnis durch eine Probe überprüfen

Hier ersetzen wir die Variable durch das berechnete Ergebnis und überprüfen, ob eine wahre oder falsche Aussage vorliegt.

Definitionsmenge:

Hier wird fest gelegt, welche Werte von der Grundmenge ausgeschlossen werden müssen.

Ausgeschlossen werden jene Werte, die zu einem negativen Ergebnis unter einer Wurzel führen.

Beispiel:

4 + √(2x – 5) = 6 Grundmenge = ℝ

2x – 5 ≥ 0 / + 5

2x ≥ + 5 / : 2

x ≥ + 2,5

d.f. Definitionsmenge: D = {x ∈ ℝ | x ≥ 2,5}

Zudem ist die Probe bei Wurzelgleichungen immer erforderlich, da durch das Quadrieren (welches keine Äquivalenzumformung darstellt), falsche Lösungen erzielt werden können!

Wurzeln isolieren:

Eine grundlegende Vorgehensweise bei Wurzelgleichungen ist das Isolieren von Wurzeln, da dadurch die Berechnungen vereinfacht werden können.

Beispiel:

4x – 4 = 2*√(x – 4) + 6 / – 6

4x – 10 = 2*√(x – 4) / : 2

2x – 5 = √(x – 4) jetzt ist die Wurzel rechts isoliert.

Quadrieren von Summen/Differenzen:

Summen (a + b) und Differenzen (a – b) müssen beim Quadrieren nach binomischen Formeln aufgelöst werden:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Beispiel für eine quadrierte Summe:

(6 + √3x) / ²

(6 + √3x)²

36 + 12*√3x + 3x

Beispiel für eine quadrierte Differenz

(5 – 2√7x) / ²

(5 – 2√7x)²

25 – 20√7x + 28x

Beispiel:

Wurzelgleichung: √(4x – 13) = 1 + 2√(x – 5) Grundmenge: ℝ ;

a) Wir bilden die Definitionsmenge:

√(4x – 13) = 1 + 2√(x – 5)

1. Wurzel: 4x – 13 ≥ 0 / + 13

4x ≥ + 13 / : 4 x

≥ + 3,25

2. Wurzel: ; x – 5 ≥ 0 / + 5 ;

x ≥ 5

d.f. Definitionsmenge: D = {x ∈ ℝ | x ≥ 5}

b) Wir berechnen x:

1. Schritt: Wir quadrieren beide Seiten

√(4x – 13) = 1 + 2√(x – 5) / ²

4x – 13 = 1 + 4*√(x – 5) + 4 * (x – 5) (a² + 2ab + b²)

4x – 13 = 1 + 4x – 20 + 4√(x – 5)

2. Schritt: Wir isolieren die Wurzel rechts

4x – 13 = 1 + 4x – 20 + 4√(x – 5)

4x – 13 = – 19 + 4x + 4√(x – 5) / – 4x

– 13 = – 19 + 4√(x – 5) / + 19

+ 6 = 4√(x – 5) / : 4

3. Schritt: Wir quadrieren nochmals beide Seiten

1,5 = √(x – 5) / ²

4. Schritt: Wir berechnen x

2,25 = x – 5 / + 5

x = 7,25 ist laut Definitionsmenge

D = {x ∈ ℝ | x ≥ 6,5} eine mögliche Lösung!

c) Probe:

Wir ersetzen x durch 7,25:

√(4 * 7,25 – 13) = 1 + 2√(7,25 – 5)

√(29 – 13) = 1 + 2√(2,25)

√16 = 1 + 3

Beide Seiten der Gleichung ergeben + 4 d.f. wahre Aussage!

d.f. Lösungsmenge: L = {7,25}

PDF-Blätter zum Ausdrucken:

Wurzelgleichung Merkblatt

Wurzelgleichung Beispiel Merkblatt

Wurzelgleichung Übungsblatt 1

Wurzelgleichung Übungsblatt 2