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Definition:
Bei einem Zahlenrätsel mit einer Variablen geht es darum eine oder mehrere Zahlen, die in einer Textaufgabe umschrieben sind, in eine Beziehung zueinander zu setzen, sodass die gesuchten Zahlen in einer Gleichung ermittelt werden können.
Bei Aufgaben auf dem Niveau der AHS müssen bei der Lösungsfindung teilweise auch Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen angewendet werden z.B. quadratisches Ergänzen, pq-Formel, Mitternachtsformel (siehe nachstehende Abbildung)
Wichtige Begriffe:
| Summe = + | Differenz = – |
| Produkt = * | Quotient = : |
| die um 4 kleinere Zahl = (x – 4) | die um 5 größere Zahl = (x + 5) |
| die um 8 vermehrte Zahl = (x + 8) | die um 3 verminderte Zahl = (x – 3) |
| das Doppelte einer Zahl = 2x | das Vierfache einer Zahl = 4x |
| die Hälfte einer Zahl = x/2 | das Viertel einer Zahl = x/4 |
| ist um 4 größer als = – 4 | ist um 3 kleiner als = + 3 |
| Kehrwert = 1/x |
Beispiel:
Addiert man zum Kehrwert einer Zahl ihr Doppeltes, so erhält man 3. Wie heißt diese Zahl?
Lösung:
1. Schritt: Wir definieren die Bestandteile der Gleichung
gesuchte Zahl: x
Kehrwert der gesuchten Zahl: 1/x
Doppeltes: 2x
2. Schritt: Rechenansatz
1/x + 2x = 3
3. Schritt: Wir lösen die Gleichung auf x auf
1/x + 2x = 3 / * x
1 + 2x² = 3x / – 3x
2x² – 3x + 1 = 0
Mitternachtsformel:
a = 2 b = – 3 c = 1
d.f. x = 1 oder x = 0,5
A: Die gesuchte Zahl ist 1 oder 0,5.
4. Schritt: Probe
a) Probe mit 1
Wir setzen für x das Ergebnis 1 ein:
1/1 + 2*1 = 3
1 + 2 = 3
3 = 3 w.A.
b) Probe mit 0,5
Wir setzen für x das Ergebnis 0,5 ein:
1/0,5 + 2*0,5 = 3
2 + 1 = 3
3 = 3 w.A.