Aufgabe: Bilde aus 3 Punkten eine quadratische Funktion 1
Bilde aus den 3 Punkten P (2/-6), Q (-1/0) und R (4/10) eine quadratische Funktion!
Lösung: Bilde aus 3 Punkten eine quadratische Funktion 1
Quadratische Grundfunktion: y = ax² + bx + c
Lösungsverfahren: Additionsverfahren
1. Schritt: Wir bilden mit den 3 Punkten 3 Gleichungen:
Wir ersetzen jeweils x und y durch die Werte der Punkte
y = ax² + bx + c
f (2): – 6 = a*2² + b*2 + c (Punkt 1)
f (-1): 0 = a*(-1)² + b*(-1) + c (Punkt 2)
f (4): +10 = a*4² + b*4 + c (Punkt 3)
I. – 6 = 4a + 2b + c
II. 0 = + a – b + c
III. 10 = 16a + 4b + c
2. Schritt: Wir eliminieren die Variable c
a) Gleichung I – Gleichung II
I. – 6 = 4a + 2b + c
II. 0 = +a – b + c / * (-1)
I. – 6 = 4a + 2b + c
II. 0 = -a + b – c
I – II: – 6 = 3a + 3b
b) Gleichung II – Gleichung III
II. 0 = +a – b + c / * (-1)
III. 10 = 16a + 4b + c
II. 0 = -a + b – c
III. 10 = 16a + 4b + c
II – III: 10 = 15a + 5b
3. Schritt: Wir eliminieren die Variable b und erhalten dadurch die Variable a
– 6 = 3a + 3b / * (- 5)
10 = 15a + 5b
30 = – 15a – 15b
10 = + 15a + 5b
40 = – 10b / : (- 10)
d.f. b = – 4
4. Schritt: Wir berechnen die Variable b
– 6 = 3a + 3 • (- 4)
– 6 = 3a – 12 / + 12
+ 6 = 3a / : 3
a = 2
5. Schritt: Wir berechnen die Variable c
0 = + a – b + c
0 = 2 – (- 4) + c
0 = 2 + 4 + c
d.f. 0 = 6 + c / – 6
d.f. c = – 6
6. Schritt: Wir stellen die Funktion auf
y = ax² + bx + c
f (x) = 2x² – 4x – 6