Aufgabe: Quadratische Funktion Flugbahn größte Höhe
Ein Körper wird mit einer Abschussgeschwindigkeit v0 = 40 m/s vom Erdboden senkrecht nach oben geschossen.
Dabei gilt hinsichtlich seiner Höhe folgender Zusammenhang: h (t) = v0 • t – g/2 • t²
Für die Fallgeschwindigkeit gilt näherungsweise: g ≈ 10 m/s²
a) Stelle die Funktionsgleichung auf!
b) Wann schlägt der Körper wieder auf dem Boden auf?
c) Nach welcher Zeit erreicht der Körper seine größte Höhe (bestimme diese)!
Lösung: Quadratische Funktion Flugbahn größte Höhe berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
h = Höhe des Körpers
s = Zeit in Sekunden
v0 = Startgeschwindigkeit 40 m/s
g/2 = halbe Fallgeschwindigkeit d.f. 10/2 = 5
d.f. h (t) = 40t – 5t²
2. Schritt: Wann schlägt der Körper auf dem Boden auf?
Dazu ermitteln wir die Nullstellen mittels Herausheben!
40t – 5t² = 0
Herausheben von t:
t • (40 – 5t) = 0
Aufspalten in zwei Gleichungen:
→ t = 0 (Start)
→ 40 – 5t = 0
Berechnen der Lösung in Sekunden:
40 – 5t = 0 / + 5t
5t = 40 / : 5
t = 8 s (Aufschlag auf dem Boden).
A: Der Körper schlägt nach 8 Sekunden wieder auf Boden auf.
3. Schritt: Höchste Höhe?
Die x-Koordinate des Scheitels (höchster Punkt) ist der Mittelwert der beiden Nullstellen:
d.f. x = 4 s
Die y-Koordinate ermitteln wir durch Einsetzen von x = 4 in die Funktion
h (4) = 40 • 4 – 5 • 4²
h (4) = 80 m
A: Der Körper erreicht nach 4 Sekunden seine größte Höhe von 80 m.
4. Schritt: Graphische Darstellung
