Kosten-, Erlös-, und Gewinnfunktion Übung 3

Aufgabe: Kosten-, Erlös-, und Gewinnfunktion Übung 3

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Ein Betrieb hat folgenden Funktionen:

Kostenfunktion: K (x) = 3x + 11,5   Nachfragefunktion p (x) = -0,5x + 15     

a) Erlösfunktion?

b) Gewinnfunktion?

c) Grenzen der Gewinnzone?

d) Wie groß ist der Gewinn, wenn der Erlös am größten ist?

e) Wo liegt das Gewinnmaximum?

Lösung: Kosten-, Erlös-, und Gewinnfunktion Übung 3

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a) Erlösfunktion: 

E (x) = x * p (x)  

E (x) = x * (-0,5x + 15) 

E (x) = -0,5x² + 15x 

 

b) Gewinnfunktion:

G (x) = E (x) – K (x) 

G (x) = -0,5x² + 15x – (3x + 11,5) 

G (x) = -0,5x² + 15x – 3x – 11,5

G (x) = -0,5x² + 12x – 11,5

 

c) Grenzen der Gewinnzonen:

G (x) = – 0,5x² + 12x – 11,5   →   Wir bestimmen die Nullstellen

0 = – 0,5x² + 12x – 11,5    / : (- 0,5)

0 = x² – 24x + 23           / Vieta 

d.f. p = – 24   und  q = + 23

x_1,2 = -p/2 ± √ (p/2)² – q

x_1,2 = + 12 ± √ (12)² – 23

x_1,2 = + 12 ± √ (144 – 23)    

x_1,2 = + 12 ± √121   

d.f.  x₁ = + 12 – 11  = 1 

d.f.  x₂  = + 12 + 11 = 23  

A: Die Grenzen der Gewinnzone liegen zwischen x = 1 ∨ x = 23.

 

d) Gewinn, wenn der Umsatz am größten ist:

Wird berechnet mit der 1. Ableitung von E →  E´

E (x) = -0,5x² + 15x 

E´ (x) = – x + 15     

0 = – x + 15    / + x 

x = 15  

Der Wert wird in die Gewinnfunktion eingesetzt: 

G (15) = -0,5x² + 12x – 11,5

G (15) = 56 GE

A: Wenn der Umsatz am höchsten ist, liegt der Gewinn bei 56 Geldeinheiten.