Aufgabe: Wachstumsfunktion Bakterien Basis/Anfangswert
Ein Bakterienbestand liegt nach 3 Stunden bei 1 406 Bakterien.
Nach 6 Stunden beträgt der Bestand 3 656 Bakterien.
a) Bestimme den Wachstumswert für die Basis a
b) Bestimme den Anfangsbestand N0
c) Bestimme die Bestand an Bakterien nach 20 Stunden.
Lösung: Wachstumsfunktion Bakterien Basis/Anfangswert
a) Wir bestimmen die Basis a
Nt = N0 * at
1. Wir stellen zwei Gleichungen auf:
I. 1 406 = N0 * a3
II. 3 656 = N0 * a6
2. Schritt: Wir formen die 1. Gleichung auf N0 um:
1 406 = N0 * a3 / : a3
N0 = 1 406
a3
3. Schritt: Wir setzen das Äquivalent zu N0 in die 2. Gleichung ein und berechnen a
3 656 = 1 406 * a6 Wir kürzen a6 mit a3 = a6-3 = a3
a3
3 656 = 1 406 * a3 / : 1 406
2,600 284… = a3 / 3√
a = 1, 375 119 019..
A: Die Basis a ist definiert mit 1,375 119 019 …
b) Wir berechnen den Anfangswert N0:
Wir setzen den Wert für a in die erste Gleichung ein:
N0 = 1 406
a3
N0 = 1 406
1,375 119…3
N0 = 540,7 Bakterien ≈ 541 Bakterien
A: Der Anfangsbestand der Bakterien lag bei 541.
c) Bakterienbestand nach 20 Stunden:
Nt = N0 * a t
1. Wir definieren die Variablen:
N0 = 541
a = 1,375 119…
t = 20
2. Wir berechnen N20:
N20 = 541 * 1,375 119… 20
N20 = 316 230 Bakterien
A: Nach 20 Stunden liegt der Bestand an Bakterien bei ca. 316 200.