Aufgabe: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 5
Eine Polynomfunktion 3. Grades hat im Punkt (0/ 5/3) die Steigung k = 3 und im Punkt (-1/0) einen Extremwert.
Lösung: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 5
1. Schritt: Wir ermitteln die Gleichung f (x) und leiten sie ab
Vorbemerkung: Graphen, die punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, haben keine geraden Exponenten bei x.
y = ax³ + bx² + cx + d
y´ = 3ax² + 2bx + c
y´´ = 6ax + 2b
2. Schritt: Wir stellen die Gleichungen auf
Punkt: f (0) = 5/3 ⇒ I. 5/3 = d
Steigung des Punktes f´ (0) = 3 ⇒ II. 3 = c
Extrempunkt f (-1) = 0 ⇒ III. 0 = – a + b – 1 * 3 + 5/3
Extrempunkt f´ (-1) = 0 ⇒ IV. 0 = +3a – 2b + 3
3. Schritt: Wir berechnen b
Wir eliminieren a
III. 0 = – a + b – 3 + 5/3
IV. 0 = +3a – 2b + 3
III. 4/3 = – a + b / * 3
IV. -3 = +3a – 2b
III. 4 = -3a + 3b
IV. -3 = +3a – 2b
1 = b
4. Schritt: Wir berechnen a
III. 4/3 = – a + 1 / – 4/3 + a
⇒ a = –1/3
5. Schritt: Wir stellen die Funktion auf:
f (x) = ax³ + bx² + cx + d
f(x) = –1/3x³ + x² + 3x + 5/3