Aufgabe: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 3
Ermittle die Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse liegt und der einen Extremwert E bei (2/0) und einen Punkt P (0/4) aufweist.
Lösung: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 3
1. Schritt: Wir ermitteln die Gleichung für f (x) und leiten sie ab
Vorbemerkung: Graphen, die symmetrisch zur y-Achse liegen, haben keine ungeraden Exponenten bei x.
y = ax4 + bx² + c
y´ = 4ax³ + 2bx
y´´ =12ax² + 2b
2. Schritt: Wir stellen die Gleichungen auf
Punkt P : f (0) = 0 ⇒ I. 4 = c
Extremstelle: f (2) = 0 ⇒ II. 0 = 16a + 4b + c
Extrempunkt: f´ (2) = 0 ⇒ III. 0 = 32a + 4b
3. Schritt: Wir berechnen a
Wir ersetzen c mit 4:
I. 0 = 16a + 4b + 4 / – 4
II. 0 = 32a + 4b
I. – 4 = 16a + 4b / * (-1)
II. 0 = 32a + 4b
I. 4 = – 16a – 4b
II. 0 = + 32a + 4b
4b = – 16a / : 16
a = – 1/4
4. Schritt: Wir berechnen b
Wir ersetzen a mit – 1/4
II. 0 = 32 * 1/4 + 4b
0 = 8 + 4b / – 8
– 8 = 4b / : 4
b = – 2
5. Schritt: Wir stellen die Funktion auf:
f(x) = ax4 + bx² + c
f(x) = 1/4x³ – 2x² + 4