Aufgabe: Kurvendiskussion ausführlich Übung 3
Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
f (x) = x³/3 – x² – 4x
a) berechne die abgeleiteten Funktionen f´(x), f´´(x) und f´´´ (x)
b) erstelle den Graph der Funktion f (x)
c) berechne die Nullstellen
d) berechne die Extremstellen
e) berechne den Wendepunkt
f) berechne die Wendetangente
g) bestimme das Monotonieverhalten
h) bestimme das Krümmungsverhalten
Lösung: Kurvendiskussion ausführlich Übung 3
a) Funktionen mit Ableitungen:
f (x) = x³/3 – x² – 4x
f´ (x) = x² – 2x – 4
f´´ (x) = 2x – 2
f´´´ (x) = 2
b) Graph der Funktion f (x)
Übersicht über die Nullstellen, Extremstellen und den Wendpunkt!
c) Berechnung der Nullstellen:
0 = x³/3 – x² – 4x / * 3
0 = x³ – 3x² – 12x
0 = x * (x² – 3x – 12)
d.f. x = 0
d.f. N1 (0/0)
d.f. 0 = x² – 3x – 12 / Vieta p = – 3 q = – 12
pq-Formel:
x2,3 = + 1,5 +/- 3,77
x2 = + 1,5 – 3,77 = -2,27
d.f. N2 (-2,27/0)
x3 = + 1,5 + 3,77 = 5,27
d.f. N3 (5,27/0)
d) Extremstellen (Hochpunkt und Tiefpunkt):
f´(x) = x² – 2x – 4 / Vieta p = – 2 q = – 4
pq-Formel:
x1,2 = + 1 +/- 2,24
d.f. x1 = 1 – 2,24 = – 1,24
Ermittlung des y-Wertes mit f (-1,24) = 2,79
f ´´ (-1,24) < 0
⇒ Hochpunkt H (-1,24/2,79)
d.f. x2 = 1 + 2,24 = 3,24
Ermittlung des y-Wertes mit f (3,24) = – 12,12
f´´ (3,24) = > 0
⇒ Tiefpunkt T (3,4/-12,12)
e) Berechnung des Wendepunktes:
f´´ (x) = 2x – 2
0 = 2x – 2 / + 2
2x = + 2 / : 2
x = 1
Ermittlung des y-Wertes mit f (1) = – 4,67
f´´´(-1) ≠ 0
⇒ Wendepunkt W (-1/-2)
f) Berechnung der Wendetangente:
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
f ´(1) = – 5 Steigung k
2. Schritt: Ermittlung von d
y = k*x + d
-4,67 = (- 5) * (1) + d
d.f. d = 0,33
3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
tw: y = – 5x + 0,33
g) Monotonieverhalten:
– ∞ < x < – 1,24 streng monoton steigend da f´ (x) > 0 (zum Hochpunkt)
-1,24 < x < 3,4 streng monoton fallend da f´ (x) < 0 (zum Tiefpunkt)
3,4 < x < ∞ streng monoton steigend da f´ (x) > 0
h) Krümmungsverhalten:
– ∞ < x < -1 negativ gekrümmt da f´´ (x) < 0 (bis zum Wendepunkt)
-1 < x < ∞ positiv gekrümmt da f´´ (x) > 0 (ab dem Wendepunkt)