Aufgabe: Extremwertaufgabe Prisma maximales Volumen
Prisma mit quadratischer Grundfläche und ohne Deckel und einer Oberfläche von O = 1 000 cm².
Gesucht ist das maximale Volumen.
Lösung: Extremwertaufgabe Prisma maximales Volumen
1. Hauptbedingung:
Variablen: a = Grundkante, c = Höhe
Volumen des Prismas:
V = a² * c
2. Nebenbedingung:
Oberfläche des Volumens
1000 = a² + 4ac
Wir stellen die Gleichung auf c
1000 = a² + 4ac / – a²
1000 – a² = 4ac / : 4a
c = (1000 – a²)
4a
3. Einsetzen in die Hauptbedingung:
Wir ersetzen c durch das Äquivalent der Nebenbedingung
V = a² * (1000 – a²)
4a
V = a² * (1000 – a²) / Kürzen durch a
4a
V = a * (1000 – a²)
4
Die Konstante 1/4 kann weggelassen werden.
V (a) = a * (1 000 – a²)
V (a) = 1 000a – a³
4. Wir bilden die erste Ableitung:
V (a)’ = 1 000 – 3a²
5. Wir berechnen a:
Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null
0 = 1 000 – 3a²
Wir berechnen a:
0 = 1 000 – 3a² / + 3a²
3a² = 1 000 / : 3
a² = 1 000/3 / √
a = 18,26 cm
6. Wir berechnen c:
Die Formel entnehmen wir der Nebenbedingung:
c = (1 000 – 18,26²)
(4 * 18,26)
c = 9,13 cm
7. Wir berechnen das Volumen:
V = a² * c
V = 18,26² * 9,13
V = 3 044,19 cm³
Beweis des relativen Maximums:
V (a) ” = – 6a < 0 wahre Aussage