Aufgabe: Extremwertaufgabe Drehkegel in Drehzylinder einschreiben
Einem Drehkegel (r, h) soll ein Drehzylinder mit maximalem Volumen eingeschrieben werden.
Geben Sie den Radius des Drehzylinders an.
Lösung: Extremwertaufgabe Drehkegel in Drehzylinder einschreiben
1. Skizze:
H = Höhe Drehkegel
R = Radius Drehkegel
r = Radius Drehzylinder
H – h = Höhe Drehkegel – Höhe Drehzylinder
2. Hauptbedingung:
Volumen des Drehzylinders:
V = r² * π * h
3. Nebenbedingung:
Anwendung des Strahlensatzes – siehe Skizze
R : H = r : (H – h)
R * (H – h) = H * r
RH – Rh = Hr
Auflösen auf h:
RH – Hr = Rh / : R
h = (RH – Hr)
R
4. Berechnung der Extremwerte:
Wir ersetzen h durch die Äquivalenz von der Nebenbedingung:
V(r) = r² * π * (RH – Hr)
R
Wir heben H/R heraus:
V(r) = r² * π * H/R * (R – r)
Die Konstante π * H/R kann weggelassen werden.
V(r) = r² * π * H/R * (R – r)
V(r) = r² * (R – r)
V(r) = r²R * – r³
5. Wir bilden die 1. Ableitung!
V(r) = r²R * – r³
V(r)‘ = 2rR * – 3r²
6. Wir berechnen r:
Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null.
0 = r * (2R – 3r)
Wir spalten die rechte Seite in zwei Teile auf.
0 = r und 0 = 2R – 3r
d.f. r = 0 (keine Lösung)
0 = 2R – 3r / + 3r
3r = 2R / : 3
r = 2R/3
r = 3,333.. d.f. r = 3,33 cm
7. Wir berechnen h:
h = (RH – Hr) : R
h = H (R – r) : R
h = H/R * (R – r)
Anmerkung: wir ersetzen r durch 2R/3
h = H/R * (R – 2R/3)
Wir fassen die Klammer zusammen:
h = H/R * 1R/3
Wir kürzen diagonal durch R!
h = H * R
R 3
h = H/3
h = 2,333…
d.f. h = 2,33 cm
8. Berechnung des Volumens:
Wir quadrieren die Klammer:
V = (2R/3)² * π * H/3
Wir multiplizieren:
V = 4R² * π * H
9 3
V = 4R² * π * H
27
V = 81,448 … d.f. 81,45 cm³
9. Nachweis des Extremums:
V(r)” = 2R – 6r d.f. 0 = 2R – 6 * (2/3R)
0 = 2R – 4R d.f. – 2R < 0 d.f. relatives Maximum