Definitionssatz: Allgemeiner Multiplikationssatz
Der allgemeine Multiplikationssatz für Wahrscheinlichkeiten berechnet die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens eines Elementarereignisses.
Er wird aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit abgeleitet.
Formel:
Diese Wahrscheinlichkeit ist mit folgender Formel zu berechnen.
P (A ∩ B) = P (B) • PB (A)
Erklärung:
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades (1. Pfadregel).
Beispiel:
Zwei Schulen B1 und B2 veranstalten gemeinsam einen Sporttag.
Aus der Schule B1 kommen 40% der Teilnehmer, aus der größeren Schule B2 60% der Kinder.
Für Fußball haben sich 30% der Kinder aus der Schule B1 angemeldet, bei der Schule B2 waren es 40%.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler aus der Schule B2 kommt und sich für Fußball angemeldet hat.
Lösung:
P (A ∩ B2) = P (B2) • PB2 (A)
P (A ∩ B2) = 0,6 • 0,4 = 0,24
A: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler aus der Schule B2 kommt und Fußball spielt, beträgt 0,24 (24%).
Spezieller Multiplikationssatz:
Für n unabhängige Ereignisse gilt:
P (A1 ∩ A2 … ∩ An ) = P (A1) • P (A2) … • P (A3)
Unabhängig sind Beispiele voneinander, wenn sie paarweise unabhängig voneinander sind und jedes Ereignis zusätzlich von allen Schnitten, die gebildet werden können unabhängig ist.
Beispiel:
Eine Münze wird dreimal hintereinander geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es dreimal Kopf ist?
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) • P (A2) • P (A3)
P (AK ∩ AK ∩ AK) = P (0,5) • P (0,5) • P (0,5)
P (3 mal Kopf) = 0,5³ = 0,125 (12,5%)
A: Die Wahrscheinlichkeit, dass beim dreimaligen Werfen, dreimal Kopf geworfen wird, beträgt 12,5% (1 : 8).
Tests:
Allgemeiner Multiplikationssatz Test
Übungsblätter:
Multiplikationssatz Übungsblatt