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Textgleichungen Geometrieaufgaben | Überblick

Textgleichungen Geometrieaufgaben | Überblick


Textgleichungen Geometrieaufgaben | Überblick

Hier erhältst du einen Überblick zum Thema: Textgleichungen Geometrieaufgaben | Überblick

Wir berechnen die fehlende Variable, indem wir eine Geometrieformel als Gleichung anwenden.

Lerneinheiten: Test | Aufgaben | Videos | Übungsblatt | Aufgabenblatt | Textgleichungen

Definition:  

Definition

Hier berechnen wir eine Seitenlänge oder einen Winkel einer geometrischen Figur in Form einer Textgleichung.


Dies ist nur möglich, wenn man die richtigen Formeln anwendet.


Diese Formeln sind dann die Grundstruktur der Gleichung.


z.B. beim rechtwinkligen Dreieck: α + β + γ = 180°

Beispiel:

1. + 2. Schritt

Verkürzt man jede Seite eines Quadrats um 4 cm, so nimmt der Flächeninhalt um 84 cm² ab.


1. Schritt: Skizze

Textgleichung Geometrie Beispiel

2. Schritt: Wir definieren die Variablen


Wir definieren die Variable x:


x = Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats


Flächeninhalt des ersten Quadrats: x • x 


Flächeninhalt des zweiten Quadrats: (x - 4) • (x - 4) 

3. + 4. Schritt

3. Schritt: Wir stellen eine Gleichung auf:


Flächeninhalt alt = Flächeninhalt neu + 84


x²  = (x - 4)² + 84        84 ist der Korrekturfaktor.


Wir schreiben ihn auf der kleineren Seite dazu, damit die Gleichung im Gleichgewicht bleibt.



4. Schritt: Gleichung lösen


Wir lösen die Gleichung nach x auf:


x²  = (x - 4)² + 84  


x² = x² - 8x + 16 + 84   / - x² 


0 = - 8x + 100  / + 8x


8x = 100  / : 8 


x = 12,5 cm


A: Die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats beträgt 12,5 cm.

Aufgabe 1  Lösung 

Ein Dreieck hat einen Umfang von 133 cm.

Die Seite b ist um 15 cm kürzer als die Seite a, die Seite c ist um 22 cm länger als die Seite a.

Berechne alle drei Seitenlängen des Dreiecks. 

Aufgabe 2  Lösung 

In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel α = 52°.

Wie groß sind die Winkel β und γ? Rechenanleitung:

Verwende die Winkelformel als Gleichung!

Aufgabe 3  Lösung 

In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel γ = 98°.

Wie groß sind die Winkel α und β?

Rechenanleitung: Verwende die Winkelformel als Gleichung!

Aufgabe 4  Lösung 

Verlängert man zwei Parallelseiten eines Quadrats um 5 cm, so ist der Flächeninhalt des entstehenden neuen Rechtecks um 30 cm² größer als der Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats.

Wie lang ist eine Seite des ursprünglichen Quadrats? 

Aufgabe 5  Lösung 

Verlängert man eine Seite eines Quadrats um 8 cm und verkürzt die andere um 3 cm, so entsteht ein um 36 cm² größeres Rechteck.

Stelle eine Gleichung auf, um die Aufgabe zu lösen.

Gesucht ist die ursprüngliche Seitenlänge des Quadrats.

Aufgabe 6  Lösung 

Verkürzt man jede Seite eines Quadrats um 4 cm, so nimmt der Flächeninhalt um 84 cm² ab.

Wie groß war die ursprüngliche Seite des Quadrats?

Anleitung: Finde die Lösung mittels Skizze, Gleichung und Korrekturfaktor!

Aufgabe 7  Lösung 

Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 5 cm, so nimmt der Flächeninhalt um 115 cm² zu.

Wie groß ist die ursprüngliche Seite des Quadrats?

Aufgabe 8  Lösung 

Ein Rechteck ist um 6 cm länger als breit. 

Verlängert man die Länge und die Breite um jeweils 4 cm, so nimmt der Flächeninhalt um 72 cm² zu. 

Wie lang und breit war das ursprüngliche Rechteck?

Aufgabe 9  Lösung 

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel α = 47°.

Wie groß ist der Winkel β ?