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Pythagoras Parallelogramm alpha größer als 90°

Pythagoras Parallelogramm alpha größer 90 Grad


Pythagoras Parallelogramm alpha größer 90 Grad

Hier findest du die Lerneinheit: Pythagoras Parallelogramm alpha größer 90 Grad

Beim Parallelogramm erhalten wir die benötigten rechtwinkligen Dreiecke mit der Hilfsgröße m. 

Weiteres Übungsmaterial: Aufgaben | Übungen | Übungsblätter | Merkblatt | Pythagoras 

 

Hinsichtlich der Bildung des pythagoreischen Lehrsatzes entscheidet der Winkel alpha. 

Es gibt zwei Möglichkeiten: α < 90° oder α > 90°

Alle folgenden Berechnungen beziehen sich auf den Sachverhalt α > 90°

 

Skizze Parallelogramm α > 90°

Hier ist die Diagonale f immer länger als die Diagonale e. 
Pythagoras alpha größer 90° Skizze

 

Hilfsgröße m:

Hilfsgröße m 

 

→  m² = b² – ha²

Um aus dem Parallelogramm rechtwinklige Dreiecke zu erhalten, müssen wir zuerst die Hilfsgröße “m” ermitteln.

Die Hilfsgröße “m” wird ermittelt, indem wir vom Parallelogramm ein Teildreieck, welches mit der Höhe “ha” und der Seite b gebildet wird abspalten.

 

Rechtwinkliges Dreieck Diagonale “e”:

Rechtwinkliges Dreieck Diagonale "e"

Wir erhalten ein rechtwinkliges Dreieck für die Diagonale “e”, indem wir die Seite a um die Hilfsgröße “m” verkürzen. 

 

Satz des Pythagoras Diagonale “e”

Grundformel:

e² = (a – m)² + ha²

Praktische Anwendung

e = √(a – m)² + ha²

ha = √e² – (a – m)²

a – m = √e² – ha²

 

Rechtwinkliges Dreieck Diagonale “f”:

Rechtwinkliges Dreieck Diagonale "f"

 

Wir erhalten ein rechtwinkliges Dreieck für die Diagonale “f”, indem wir die Seite a um die Hilfsgröße “m” verlängern.

 

Satz des Pythagoras Diagonale “f”:

Grundformel:

f² = (a + m)² + ha²

Praktische Anwendung:

f = √(a + m)² + ha²

ha = √f² – (a + m)²

a + m = √f² – ha²       

 

Beispiel:

Parallelogramm alpha > 90°: a = 55 cm, b = 30 cm, ha = 21 cm

Berechne die Diagonalen e und f:
Lösung:
1. Schritt: Hilfsgröße m

m² = b² – ha²

m² = 30² – 21²

m² = 459  / √

m = 21,4 cm

 

2. Schritt: Diagonale e:

e² = ha² + (a – m)²

e² = 21² + (55 – 21,4)²

e² = 21² + 33,6²

e² = 1 569,96  / √

e = 39,6 cm

A: Die Diagonale e beträgt 39,6 cm.

 

3. Schritt: Diagonale f:

f² = ha² + (a + m)²

f² = 21² + (55 + 21,4)²

f² = 21² + 76,4²

f² = 6 277,96   / √

f = 79,2 cm

A: Die Diagonale f beträgt 79,2 cm.