Definition lineare Funktion:


Lineare Funktionen haben einen stetigen Verlauf und ihr Graph ist immer eine Gerade.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit der Steigung k, die die y-Achse im Punkt (0/d) schneidet.
 
Eine Zuordnung, die jedem Element einer Definitionsmenge genau ein Element einer Zielmenge zuordnet heißt Funktion.

Das Element der Definitionsmenge x, wird als Argument oder unabhängige Variable bezeichnet.

Das zugeordnete Element der Zielmenge y, wird als Funktionswert bzw. abhängige Variable bezeichnet.

Die Zuordnungsvorschrift ist oft ein Term. 
 
z.B. 1 kg Bananen kostet € 3,-

Wie viel kosten x kg?

→ Zuordnungsvorschrift: y = 3x

Die Funktion kann angegeben werden durch eine Wertetabelle, einen Funktionsterm oder durch einen Graphen.

 
 

Normalform einer linearen Funktion:


Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit der Steigung k, die die y-Achse im Punkt (0/d) schneidet.

Termdarstellung:

y = k*x + d   oder f (x) = k*x + d

k = Steigung der Geraden

d = Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ Punkt (0/d) 

 

Lineare Funktion Steigung

 

Ermittlung der Steigung k der Geraden:


Die Steigung der Geraden durch die Punkte R (x1/y1) und S (x2/y2) ist definiert durch

Lineare Funktion Ermittlung der Steigung k
∆ - Delta = "Differenz".  
 

Beispiele für Steigungen:


Vorbemerkung:

positive k-Werte (k > 0) = steigende Gerade

negative k-Werte (k < 0) = fallende Gerade

 

flach steigend: z.B. k = 0,5    

flach fallend: z.B. k = - 0,5   

steil steigend: z.B. k = 4   

steil fallend: z.B. k = - 4

 

Arten von linearen Funktionen:


a) Inhomogene Funktion z.B. y = 2x + 3  (d ≠ 0 und k ≠ 0)

b) Homogene Funktion z.B. y = 2x     (d = 0)

c) Konstante Funktion  z.B. y = 3       (k = 0)

 

Weitere wichtige Begriffe:


Nullstelle: Punkt an der f (x) = 0

graphisch: der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse

Fixwert: Punkt an der f (x) = x

graphisch: Schnittpunkt des Graphen mit der 1. Mediane (Gerade, die durch den Ursprung verläuft und eine Steigung von 45° aufweist).

 

Beispiel:


Bestimme von folgender Funktion y = 2x - 3 die Steigung k und d.

Stelle zudem die Funktion graphisch dar.

1. Schritt: Wir ermitteln k und d

y = 2x - 3

Wir können die Werte für k und d direkt aus der Geradengleichung ablesen!

Steigung: k = 2 (steigende Gerade)

Schnittpunkt mit der y-Achse:  d = - 3

 

2. Schritt: Wir stellen die Funktion graphisch dar

Ermittlung von 2 Punkten:

Wir setzen den x-Wert in die Funktion f(x)  =  2x -  3  ein!

f (0) = 2   (2 * 0 - 3 = - 3)  ⇒ P1 (0/-3)

f (1) = 1  (2 * 1 - 3 = - 1)   ⇒ P2 (1/-1)

Lineare Funktion Beispiel Graph
 
 

Tests: