Sechsseitige Pyramide Skizze:
Bezeichnungen:
a = Seite der Grundfläche
ha = Seitenflächenhöhe
hg = Grundflächenhöhe
h = Körperhöhe
s = Außenkante
Formeln:
Eigenschaften:
Eine sechsseitige Pyramide ist ein regelmäßiger geometrischer Körper mit ganz besonderen Eigenschaften.
Sie hat eine Grundfläche aus sechs gleichseitigen Dreiecken und eine Spitze oben.
Die Höhe der Pyramide ist die Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Grundfläche und der Spitze.
Die Mantelfläche besteht aus 6 gleichschenkligen deckungsgleichen Dreiecken.
Eine sechsseitige Pyramide hat 7 Ecken.
Eine sechsseitige Pyramide hat 12 Kanten (6 Grundkanten und 6 Seitenkanten).
Eine sechsseitige Pyramide hat 7 Flächen (1 Grundfläche und 6 Seitenflächen).
Der Fußpunkt der Höhe ist der Umkreismittelpunkt der Basis.
Die Oberfläche wird berechnet, indem die Grundfläche und der Mantel addiert werden.
Das Volumen einer sechsseitigen Pyramide ist ein Drittel des Produkts der Grundfläche mit der Körperhöhe.
Pythagoras:
Körperhöhe mit Außenkante:
h² = s² – a²
Körperhöhe mit Grundflächenhöhe:
h² = ha² – hg²
Flächenhöhe des gleichseitigen Dreiecks am Boden:
ha = a/2 * √3
Seitenflächenhöhe mit Grundflächenhöhe:
ha² = hg² + h²
Seitenflächenhöhe mit Außenkante:
ha² = s² – (a/2)²
Außenkante mit Körperhöhe:
s² = h² + a²
Außenkante mit Seitenflächenhöhe:
s² = ha² + (a/2)²
Formeln Umkehraufgaben:
Oberfläche: O = Gf + M
⇒ M = O – Gf
⇒ Gf = O – M
⇒ Gf = 3 • V : h
⇒ h = 3 • V : Gf
Mantel: M = a • ha • 3
⇒ a = M : (3 • ha)
⇒ ha = M : (3 • a)
Grundfläche: Gf = 1,5 • a² • √3
⇒ a = √[(Gf : (1,5 • √3)]
Beispiel:
Lösung:
Berechnung des Mantels:
hg = a/2 • √3
hg = 4,5/2 • √3
hg = 3,9 m
ha = √ (h² + hg²)
ha = √ (6,4² + 3,9²)
ha = 7,5 m
M = a • ha • 3
M = 4,5 • 7,5 • 3
M = 101,25 m²
A: Die Mantelfläche beträgt 101,25 m².
Übungsblätter:
Sechsseitige Pyramide Übungsblatt
Sechsseitige Pyramide Aufgaben Übungsblatt