Skizze: Kugel
Formeln der Kugel:
Formeln mit Radius:
Oberfläche: O = 4 • r² • π
Volumen: V = 4 • r³ • π : 3
Umfang (Großkreis) mit r: U = 2 • r • π
Formeln mit Durchmesser:
Oberfläche: O = d² • π
Volumen: V = d³ • π : 6
Umfang (Großkreis): U = d • π
Formeln der Halbkugel:
Oberfläche: O = 3 • r² • π
Volumen: V = 2 • r³ • π : 3
Eigenschaften:
Die Kugel ist ein Drehkörper (Rotationskörper).
Eine Kugel entsteht durch die Drehung eines Halbkreises um den Halbkreisdurchmesser.
Alle Punkte der Kugeloberfläche haben vom Mittelpunkt die gleiche Entfernung – den Radius.
Eine Kugel hat unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt.
Der Großkreis ist eine Schnittfigur, vom Schnitt einer Ebene mit einer Kugel, die den Kugelmittelpunkt enthält.
Der Kleinkreis ist eine Schnittfigur, vom Schnitt einer Ebene mit einer Kugel, die den Kugelmittelpunkt nicht enthält.
Die Oberfläche einer Kugel ist vier mal so groß wie eine Großkreisfläche.
Eine Hohlkugel wird durch die Differenz zweier konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichem Radius gebildet.
Von einer Kugel kann man kein ebenes Netz erstellen.
Formeln Vollkugel Umkehraufgaben:
a) mit Radius:
Oberfläche: O = 4 • r² • π
⇒ r = √[O : (4 • π)]
Volumen: V = 4 • r³ • π : 3
⇒ r = ³√[3 • V : (4 • π)]
Großkreis: U = 2 • r • π
⇒ r = U : (2 • π)
b) mit Durchmesser
Oberfläche: O = d² • π
⇒ d = √(O : π)
Volumen: V = d³ • π : 6
⇒ d = ³√(6 • V : π)
Großkreis: U = d • π
⇒ d = U : π
Formeln Halbkugel Umkehraufgaben:
Halbkugel Oberfläche: O = 3 • r² • π
⇒ r = √[O : (3 • π)]
Halbkugel Volumen: V = 2 • r³ • π : 3
⇒ r = 3√[3 • V : (2 • π)]
Beispiel:
Kugel mit r = 8,4 cm
a) Oberfläche der Kugel (cm²) ? b) Volumen der Kugel (cm³) ?
a) Berechnung der Oberfläche:
O = 4 • r² • π
O = 4 • 8,4² • π
O = 886,68 cm²
A: Die Oberfläche beträgt 452,39 cm².
b) Berechnung des Volumens:
V = 4 • r³ • π : 3
V = 4 • 8,4³ • π : 3
V = 2 482,71 cm³
A: Das Volumen beträgt 2 482,71 cm³.
Tests:
Geometrische Kugel Eigenschaften
Geometrische Kugel Formeln Test
Videos:
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