Gleichseitiger Drehkegel Formeln und Beispiele

Gleichseitiger Drehkegel:

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Hier findest du alles Wissenswerte zum Drehkegel: Formeln, Skizze, Eigenschaften, Formeln Umkehraufgaben.

 

 

Bezeichnungen:

r = Radius 

h = Körperhöhe

s = Mantellinie s

 

Formeln:

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a) allgemeine Formeln:

O = Gf + M

V = Gf • h : 3

 

b) spezielle Formeln:

Oberfläche: O = 3 • r² • π

Höhe: h = r • √3

Volumen: V = (r³ • π • √3) : 3

Mantel: M = 2 • r² • π

Grundfläche: G_f = r² • π  (Kreis)

Mantellinie: s = 2 • r

Eigenschaften:

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Der gleichseitige Drehkegel ist ein spitz zulaufender Kreiskörper, dessen Grundfläche ein Kreis ist.

Bei einem gleichseitigen Kegel sind der Durchmesser und die Mantelstrecke gleich lang.

Die Grundfläche eines gleichseitigen Drehkegels ist ein Kreis mit dem Radius r.

Die Mantelfläche eines gleichseitigen Drehkegels ist eine gekrümmte Seitenfläche, ausgebreitet ein Kreissektor.

Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen dem Kreismittelpunkt und der Spitze.

Der Böschungswinkel liegt bei der Grundfläche und der Öffnungswinkel an der Spitze des Drehkegels.

Ein gleichseitiger Drehkegel entsteht durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks um die Rotationsachse.

Der Kreissektorbogen b der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche.

Das Volumen eines gleichseitigen Drehkegels beträgt 1/3 eines Zylinders bei gleichem Radius und Höhe. 

Herleitung von h:

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h = √ (2r)² – r²    Anmerkung: s = 2r

h = √ 4r² – r²

h = √ 3r²

h = √ 3 • √r²   

h = r • √3

Formeln Umkehraufgaben:

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Oberfläche: O = 3r² • π

⇒ r = √[O : (3 • π)]

 

Höhe: h = r • √3

⇒ r = h : √3

 

Volumen: V = (r³ • π • √3) : 3

⇒ r = ³√[3 • V : (π • √3)]

 

Mantel: M = 2r² • π

⇒  r = √[M : (2 • π)]

 

Grundfläche: G_f = r² • π

⇒  r = √(G_f : π)

 

Mantellinie: s = 2 • r

⇒  r = s : 2

 

Beispiel:

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gleichseitiger Kegel: r =  3,2 cm

a) Höhe (h) ?  b) Volumen (V) ?  c) Oberfläche (O) ?

Verwende die π Taste beim Taschenrechner, runde auf 2 Kommastellen!

 

a) Berechnung der Höhe h

Höhe: h = r • √3

Höhe: h = 3,2 • √3

Höhe: h = 3,2 • √3

A: Die Höhe h beträgt 5,54 cm.

 

b) Berechnung des Volumens

Volumen: V = (r³ • π • √3) : 3

Volumen: V = (3,2³ • π • √3) : 3

Volumen: V = 59,43 cm³

A: Das Volumen beträgt 59,43 cm³