Definition: Ungleichungen
Lösungsmenge:
Die Menge aller Zahlen, die Bestandteile der Grundmenge sind und die Ungleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge.
Beschreibendes und aufzählendes Verfahren:
a) Beschreibendes Verfahren: hier wird die Lösung als Eigenschaft angegeben
z.B. L = {x | x < 3}
Die Lösung beinhaltet alle natürlichen Zahlen die kleiner sind als 4
b) Aufzählendes Verfahren: hier wird die Lösung als Teilmenge der Grundmenge in Zahlen angegeben
z.B. L = {0, 1, 2, 3}
Die Lösung beinhaltet die Zahlen, 0, 1, 2, und 3
Vergleichszeichen:
Wir unterscheiden dabei folgende Vergleichszeichen:
“<” = kleiner
Beispiel: x < 4 Grundmenge = ℕ
L = {0, 1, 2, 3}
“≤” = kleiner gleich
Beispiel: x ≤ 4 Grundmenge = ℕ
L = {0, 1, 2, 3, 4}
“>” = größer
Beispiel: x > 4 Grundmenge = ℕ
L = {5, 6, 7, 8, …}
“≥” = größer gleich
Beispiel x ≥ 4 Grundmenge = ℕ
L = {4, 5, 6, 7, 8, …}
Ermittlung der Lösungsmenge:
Die Lösungsmenge wird mittels Äquivalenzumformungen ermittelt.
Es gelten die gleichen Gesetze wie bei den Gleichungen außer bei der Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl.
Hier wird aus “<” ein “>” und umgekehrt und aus “≤” ein “≥”.
z.B. – 2x < – 8 / : (- 2)
d.f. x > 4
Probe einer Ungleichung:
Die ermittelte Lösungen werden in die Grundungleichung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es eine wahre Aussage ergibt.
x < 4
Wir setzen den Wert 2 ein: d.f. 2 < 4 w.A.
Wir setzen den Wert 4 ein: d.f. 4 < 4 f.A.
Beispiel:
2x – 10 < 4 Grundmenge: ℕ
Lösungsmenge: aufzählendes Verfahren
1. Schritt: Die Zahl, die neben dem x steht, muss weg!
2x – 10 < 4 / + 10
2x – 10 + 10 < 4 + 10
2x < 14
2. Schritt: Wir dividieren durch die Zahl, die vor dem x steht!
2x < 14 / : 2
2x : 2 < 12 : 2
x < 6
d.f. L = {0,1,2,3,4,5}
3. Schritt: Stichprobe mit 3
2 * 3 – 10 < 4
6 – 10 < 4
– 4 < – 4 w.A.