Aufgabe: Bruchterme mit binomischen Formeln multiplizieren
Vereinfache folgende Bruchterme:
x² + 2xy + y² * x² – 2xy + y² =
x – y x² – y²
a) Welche Werte dürfen x und y im Nenner nicht annehmen?
b) Vereinfache
c) Führe mit x = 1 und y = 2 die Probe durch!
Lösung: Bruchterme mit binomischen Formeln multiplizieren
1. Definitionsmenge festlegen:
Welche Werte dürfen x und y im Nenner nicht annehmen?
x ≠ ± y und y ≠ ± y
2. Wir “erkennen” die binomischen Formeln
x² + 2xy + y² * x² – 2xy + y² =
x – y x² – y²
Nach der Rückführung:
(x + y)² * (x – y)² =
(x – y) (x – y) * (x + y)
Nebenrechnungen:
Rückführung der binomischen Formeln
1. Binomische Formel: x² + 2xy + y² = (x + y)²
2. Binomische Formel x² – 2xy + y² = (x + y)²
3. Binomische Formel: x² – y² = (x – y) * (x + y)
3. Es wird diagonal oder vertikal gekürzt :
(x + y)² * (x – y)² =
(x – y) (x – y) * (x + y)
Um besser kürzen zu können schreiben wir die 1. und 2. Formel aus:
(x + y) * (x + y) * (x – y) (x -y) =
(x – y) (x – y) * (x + y)
Wir kürzen zuerst diagonal:
(x + y) * (x + y) * (x – y) (x -y) =
(x – y) (x – y) * (x + y)
Das bleibt übrig:
(x + y) * (x -y) =
1 (x – y)
Wir kürzen vertikal:
(x + y) * (x -y) =
1 (x – y)
Das bleibt übrig:
(x + y) * 1
1 1
4. Multiplikation von Zähler und Nenner ergibt:
(x + y)
5. Probe:
a) Probe Anfangsterm (Angabe):
x² + 2xy + y² * x² – 2xy + y² =
x – y x² – y²
Wir setzen für x = 1 und y = 2 ein:
1² + 2*1*2 + 2² * 1² – 2*1*2 + 2² =
1 – 2 1² – 2²
Wir berechnen:
1 + 4 + 4 * 1 – 4 + 4 =
– 1 1 – 4
9 * 1 = 9 = 3
-1 -3 3
b) Probe Endterm (Ergebnis):
x + y
1 + 2 = 3